Prvočísla a zložené čísla

Dôkazy sú rozširujúcim a prehlbujúcim učivom, pre žiakov, ktorý sa hlbšie zaujímajú o matematiku. Nebudú predmetom skúšania.

Číslo $p$ je deliteľom čísla $n$ , ak číslo $n$ možno zapísať, ako súčin čísla $p$ a nejakého čísla $q$ : $n=p \cdot q$

Aj číslo $q$ je deliteľom čísla $n$ , ak je $q>0$ .

Možno to vyjadriť aj inak:

Číslo $p$ je deliteľom čísla $n$ , ak ho delí bezo zvyšku.

Rozpíšme všetky možné vyjadrenia čísel od 1 do 20, ako súčinu dvoch čísel:

Zelenou farbou som označil čísla, ktoré majú iba dva delitele. Čiernou farbou sú napísané čísla, ktoré majú viac než dva delitele. Modrou farbou som označil číslo $1$ , ktoré má len jedného deliteľa.

Prvočíslo je číslo, ktoré má dva delitele jednotku a samé seba.

Zložené číslo je číslo, ktoré má viac než dva delitele.

Veta: Číslo dva je jediné párne prvočíslo.

Dôkaz: Ak by číslo n bolo párne číslo väčšie ako dva, tak by malo delitele 1 a samé seba a navyše aj číslo 2.

Veta: Každé zložené číslo možno vyjadriť ako súčin prvočísel.

Dôkaz: Ak je n zložené číslo, možno ho vyjadriť ako súčin dvoch čísel väčších ako 1. $n=p \cdot q$ . Tieto čísla sú buď prvočísla, alebo sú to znova zložené čísla. Ak sú to zložené čísla, možno ich vyjadriť ako $p=p_1 \cdot p_2$ a $q=q_1 \cdot q_2$ . Tieto nové činitele sú aspoň dvakrát menšie, než pôvodné. Po konečnom počte krokov, dospejeme k číslu 2, ktoré je prvočíslom, alebo to už neboli zložené čísla.

Využitie prvočísel

V súčasnosti sa prvočísla využívajú hlavne v kryptografii. Kryptografia je veda o šifrovaní a dešifrovaní. Ak máme zložené číslo, ktoré je súčinom dvoch veľmi veľkých prvočísel, dá sa správa zakódovať verejným kľúčom, ale dekódovať sa dá len súkromným kľúčom. Aj veľmi výkonné počítače pri dostatočnej veľkosti prvočísel by pracovali desiatky či stovky rokov, kým by odhalili súkromný kľúč.
V informatike sa prvočísla používajú v hashovacích tabuľkách. Je to také ukladanie informácií, aby sme veľmi rýchlo našli informácie v databáze.
V matematike možno pomocou prvočísel hľadať dokonalé čísla.
Dokonalé číslo je číslo, ktorého súčet vlastných deliteľov je rovný dokonalému číslu. Napríklad:
6 má vlastné delitele 1,2,3 a 6=1+2+3
28=1,2,4,7,14 a 28=1+2+4+7+14
Vlastný deliteľ je taký deliteľ, ktorý je menší než číslo ktoré delíme.
Starí Gréci prikladali dokonalým číslam magické vlastnosti.

$\textcolor{blue}{1=1 \cdot 1}$	$\textcolor{green}{11=1 \cdot 11}$
$\textcolor{green}{2=1 \cdot 2}$	$12=1 \cdot 12=2 \cdot 6$
$\textcolor{green}{3=1 \cdot 3}$	$\textcolor{green}{13=1 \cdot 13}$
$4=1 \cdot 4=2 \cdot 2$	$14=1 \cdot 14=2 \cdot 7$
$\textcolor{green}{5=1 \cdot 5}$	$15=1 \cdot 15=3 \cdot5$
$6=1 \cdot 6=2 \cdot 3$	$16=1 \cdot 16=2 \cdot 8=4 \cdot 4$
$\textcolor{green}{7=1 \cdot 7}$	$\textcolor{green}{17=1 \cdot 17}$
$8= 1\cdot 8=2 \cdot 4$	$18=1 \cdot 18=2 \cdot 9=3 \cdot 6$
$9=1 \cdot 9=3 \cdot 3$	$\textcolor{green}{19=1 \cdot 19}$
$10=1 \cdot 10=2 \cdot 5$	$20=1 \cdot 20=2 \cdot 10=4 \cdot 5$

Podklady pre výuku matematiky, fyziky a informatiky

Nie je hanba nevedieť. Hanba je tváriť sa, že viem, hoci neviem.

Pridaj komentár Zrušiť odpoveď