Scratch Cup

Súťaže Scratch Cup a Python Cup, sa budú konať online 19.4.2023 od 8:00-17:00.

Súťaž Scratch Cup je určená pre žiakov 5. – 9. ročníka ZŠ. Žiaci majú počas 90 minút vyriešiť 3 úlohy. Viac informácií o organizovaní súťaže, ako aj ukážkové úlohy, nájdete na stránke organizátora súťaže Scratch Cup.

Odkaz na zadania na precvičovanie.

Ukážka vypracovania projektu Nájdi mačku.

Scratch

Scratch je detský blokový programovací jazyk, v ktorom možno tvoriť jednoduché počítačové hry, animácie, kresliť… Sú dve základné verzie Scratchu online a offline.

  • Online verziu nájdete na tejto adrese.
  • Ofline verziu stiahnete na tejto adrese.

Ak pracujete s online verziou, je vhodné sa zaregistrovať, aby sa projekty automaticky ukladali. Vpravo hore kliknite na Join Scratch alebo Pripoj sa k Scratchu a postupujte podľa pokynov.

Nový projekt vytvoríte kliknutím na Vytvor.

Continue reading

Microbit

Micro:bit je programovateľný mikropočítač (budem ho nazývať microbit). Obsahuje displej, 2 tlačidlá, senzory pohybu, naklonenia, teploty a anténu. Možno k nemu pripájať ďalšie senzory a iné súčiastky – LED pásiky, reproduktory, motorčeky, čerpadlá, senzory pohybu, atď. Preto je využiteľný v predmetoch: fyzika, chémia, biológia, geografia, hudobná a výtvarná výchova,… a dokonca aj v domácnosti.

Ak chcete programovať Microbit pomocou grafických blokov, kliknite na tento odkaz. Spustí sa MakeCode Editor. Otvorí sa nová karta v prehliadači, vráťte sa na túto kartu, vyberte projekt, ktorý vám zadal učiteľ, alebo si vyberte, ktorý projekt chcete riešiť a postupujte podľa pokynov.

Projekty

Zdroje:

Časticové zloženie látok

Látky sú zložené z častíc – atómov a molekúl.

Atóm je základná častica látky. Jeho názov pochádza z gréčtiny zo slova atomos – nedeliteľný. Začiatkom 20. storočia vedci zistili, že aj atóm sa z čohosi skladá.

Molekula je častica, ktorá sa skladá z dvoch alebo viacerých atómov.

Na obrázku je molekula vody, ktorá sa skladá z dvoch molekúl vodíka a jednej molekuly kyslíka. Chemická značka H_2O.

Continue reading

Látka a teleso

To čo v bežnom živote nazývame vec, predmet, výrobok, … vo fyzike nazývame teleso. Keď použijeme slovo teleso, budeme sa zaoberať jeho fyzikálnymi vlastnosťami.

Telesá môžu byť tvorené z rôznych látok: stolička môže byť z dreva, kovu, plastu, prípadne môže byť vyrobená z viacerých látok, každá časť je vyrobená z látky, ktorá najviac spĺňa požiadavky na ňu kladené. Vo fyzike to čo v bežnom živote nazývame materiál nazývame látka.

Telesá môžu byť z pevných, kvapalných alebo plynných látok, prípadne ich kombinácií.

Kritéria deliteľnosti

Deliteľnosť 2

Číslo je deliteľné 2, ak na mieste jednotiek je párna číslica: 0, 2, 4, 6, 8

Deliteľnosť 3

Číslo je deliteľné 3, ak jeho ciferný súčet (súčet jeho číslic) je deliteľný 3.

Príklad: 123 – 1+2+3=6, 6 je deliteľné 3, číslo 123 je deliteľné 3.

Deliteľnosť 4

Číslo je deliteľné 4, ak posledné dvojčíslie je deliteľné 4.

Deliteľnosť 5

Číslo je deliteľné 5, ak posledná číslica je 0 alebo 5.

Continue reading

Vedenie elektrického prúdu v kvapalinách

Keď do nádoby nalejeme destilovanú vodu (chemicky čistú vodu) a ponoríme do nej elektródy pripojené na zdroj elektrického napätia, obvodom nebude prechádzať elektrický prúd. Čiže chemicky čistá voda je nevodič.

Na hodine sme nemali k dispozícii destilovanú vodu, použil som vodu z vodovodu, kým bolo napätie nízke, obvodom elektrický prúd nepretekal . Keď som napätie zvýšil na cca. 8 voltov, zaznamenali sme prúd jedna stotina ampéra.

Continue reading

Odpor žiarovky

Na hodine som previedol sadu meraní elektrického obvodu, v ktorom bola žiarovka. Postupne som zvyšoval napätie zdroja a meral prúd prechádzajúci obvodom. Namerané hodnoty iba čiastočne zodpovedali grafu, ktorý je v učebnici na strane 54. Samotné vodiče a merací prístroj totiž mali nejaký odpor, ktorý vzhľadom k odporu žiarovky nebol zanedbateľný. Po skončení hodiny som preto urobil druhú sadu meraní.

Continue reading

Elektrická vodivosť

Meraním sme zistili, že elektrický odpor vodiča závisí od druhu materiálu, z ktorého je vodič vyrobený, od dĺžky vodiča a od plochy prierezu vodiča.

Najprv som meral elektrický prúd pre oceľový drôt s priemerom 0,2 mm pri konštantnom napätí, pre rôzne dlhé drôty. Zistili sme, že s rastúcou dĺžkou drôtu elektrický prúd klesá, teda elektrický odpor rastie.

Continue reading

Geometrická optika

Geometrická optika alebo optika lúčov je oblasť fyziky, ktorá popisuje optické javy geometricky, zanedbávajúc vlnovú podstatu svetla.

Je založená na nasledujúcich princípoch:

  • princíp priamočiareho šírenia svetla
  • princíp vzájomnej nezávislosti lúčov
  • princíp zameniteľnosti chodu lúčov
  • zákon odrazu
  • zákon lomu

Princíp priamočiareho šírenia svetla

Svetlo sa v homogénnom (rovnorodom) prostredí šíri priamočiaro.
Ak máme veľmi malý zdroj svetla (bodový zdroj svetla) uzavretý v nepriehľadnej schránke, na ktorej je kruhový otvor, svetlo uniká iba týmto otvorom a vytvára svetelný kužeľ, ako je na obrázku hore, tento svetelný kužeľ môžeme vidieť, pokiaľ sú vo vzduchu drobné prachové častice. Ak do kužeľa vložíme tienidlo, kolmo na os kužeľa, zobrazí sa na tienidle kruh, ten je tým väčší, čím sme ďalej od zdroja svetla a čím je otvor na schránke väčší.

Princíp nezávislosti lúčov

Svetelné lúče prechádzajú prostredím tak, akoby ostatné lúče neexistovali.

Princíp zámeny chodu lúčov

Ak sa svetelný lúč šíri z bodu A do bodu B, potom sa môže šíriť z bodu B do bodu A a to po tej istej dráhe.

Zákon odrazu

Uhol odrazu sa rovná uhlu dopadu.

Zákon lomu

Keď svetelný lúč prechádza z jedného prostredia do druhého, tak sa lúč zlomí podľa nasledujúceho vzťahu:
\dfrac{sin, \alpha _1}{sin, \alpha_2}=\dfrac{sin, v_1}{v_2}=\dfrac{n _2}{n_1}

Kde \alpha _1 je uhol dopadu, \alpha _2 je uhol lomu, v_1 je rýchlosť svetla v prvom prostredí, v_2 rýchlosť svetla v druhom prostredí a n_1, n_2 sú relatívne indexy lomu prvého a druhého prostredia.

Znamienková konvencia

  • Predmetová vzdialenosť je kladná pred šošovkou, záporná za šošovkou.

Prvočísla a zložené čísla

Dôkazy sú rozširujúcim a prehlbujúcim učivom, pre žiakov, ktorý sa hlbšie zaujímajú o matematiku. Nebudú predmetom skúšania.

Číslo p je deliteľom čísla n, ak číslo n možno zapísať, ako súčin čísla p a nejakého čísla q: n=p \cdot q

Aj číslo q je deliteľom čísla n, ak je q>0.

Možno to vyjadriť aj inak:

Číslo p je deliteľom čísla n , ak ho delí bezo zvyšku.

Rozpíšme všetky možné vyjadrenia čísel od 1 do 20, ako súčinu dvoch čísel:

\textcolor{blue}{1=1 \cdot 1}\textcolor{green}{11=1 \cdot 11}
\textcolor{green}{2=1 \cdot 2}12=1 \cdot 12=2 \cdot 6
\textcolor{green}{3=1 \cdot 3}\textcolor{green}{13=1 \cdot 13}
4=1 \cdot 4=2 \cdot 214=1 \cdot 14=2 \cdot 7
\textcolor{green}{5=1 \cdot 5}15=1 \cdot 15=3 \cdot5
6=1 \cdot 6=2 \cdot 316=1 \cdot 16=2 \cdot 8=4 \cdot 4
\textcolor{green}{7=1 \cdot 7}\textcolor{green}{17=1 \cdot 17}
8= 1\cdot 8=2 \cdot 418=1 \cdot 18=2 \cdot 9=3 \cdot 6
9=1 \cdot 9=3 \cdot 3\textcolor{green}{19=1 \cdot 19}
10=1 \cdot 10=2 \cdot 520=1 \cdot 20=2 \cdot 10=4 \cdot 5

Zelenou farbou som označil čísla, ktoré majú iba dva delitele. Čiernou farbou sú napísané čísla, ktoré majú viac než dva delitele. Modrou farbou som označil číslo 1, ktoré má len jedného deliteľa.

Prvočíslo je číslo, ktoré má dva delitele jednotku a samé seba.

Zložené číslo je číslo, ktoré má viac než dva delitele.

Veta: Číslo dva je jediné párne prvočíslo.

Dôkaz: Ak by číslo n bolo párne číslo väčšie ako dva, tak by malo delitele 1 a samé seba a navyše aj číslo 2.

Veta: Každé zložené číslo možno vyjadriť ako súčin prvočísel.

Dôkaz: Ak je n zložené číslo, možno ho vyjadriť ako súčin dvoch čísel väčších ako 1. n=p \cdot q. Tieto čísla sú buď prvočísla, alebo sú to znova zložené čísla. Ak sú to zložené čísla, možno ich vyjadriť ako p=p_1 \cdot p_2 a q=q_1 \cdot q_2. Tieto nové činitele sú aspoň dvakrát menšie, než pôvodné. Po konečnom počte krokov, dospejeme k číslu 2, ktoré je prvočíslom, alebo to už neboli zložené čísla.

Využitie prvočísel

  • V súčasnosti sa prvočísla využívajú hlavne v kryptografii. Kryptografia je veda o šifrovaní a dešifrovaní. Ak máme zložené číslo, ktoré je súčinom dvoch veľmi veľkých prvočísel, dá sa správa zakódovať verejným kľúčom, ale dekódovať sa dá len súkromným kľúčom. Aj veľmi výkonné počítače pri dostatočnej veľkosti prvočísel by pracovali desiatky či stovky rokov, kým by odhalili súkromný kľúč.
  • V informatike sa prvočísla používajú v hashovacích tabuľkách. Je to také ukladanie informácií, aby sme veľmi rýchlo našli informácie v databáze.
  • V matematike možno pomocou prvočísel hľadať dokonalé čísla.
    Dokonalé číslo je číslo, ktorého súčet vlastných deliteľov je rovný dokonalému číslu. Napríklad:
    6 má vlastné delitele 1,2,3 a 6=1+2+3
    28=1,2,4,7,14 a 28=1+2+4+7+14
    Vlastný deliteľ je taký deliteľ, ktorý je menší než číslo ktoré delíme.
    Starí Gréci prikladali dokonalým číslam magické vlastnosti.

Šošovky

Šošovka je homogénne izotropné prostredie, ohraničené dvoma guľovými plochami alebo guľovou plochou a rovinou. Je to predmet z priehľadného materiálu slúžiaci v optike alebo v iných prípadoch na ovplyvnenie šírenia svetla v širšom zmysle, t. j. viditeľného svetla, infračerveného a ultrafialového žiarenia.

Šošovky sú najčastejšie sklenené, ale na ich výrobu sa bežne používajú aj plasty. Materiál šošovky je charakterizovaný indexom lomu, ktorý je vždy väčší ako jedna, a indexom absorpcie, ktorý je pre vlnové dĺžky v rozsahu použiteľnosti šošovky blízky nule. Najjednoduchší opis šírenia lúčov šošovkou poskytuje geometrická optika. Ak je hrúbka šošovky vzhľadom na polomery jej guľových plôch zanedbateľná (d<<r), potom hovoríme, že šošovka je tenká.

Najstaršia zmienka o šošovke pochádza z Aristofanovej divadelnej hry Oblaky, kde vystupovala ako zapaľovacie sklíčko.

Druhy šošoviek

Základné delenie šošoviek vychádza z toho, či šošovka rovnobežné lúče spája alebo rozptyľuje.

  • spojky – lúče spájajú
  • rozptylky – lúče rozptyľujú

Na obrázku v pravo sú rôzne tvary šošoviek. Šošovky 1 až 3 sú spojky, 4 až 5 rozptylky.

Spojka (spojná šošovka, konvexná šošovka)

Spojka je uprostred hrubšia ako na okrajoch a má aspoň jeden vypuklý povrch. Na obrázku v pravo je ukážka, ako prechádzajú vodorovné lúče šošovkou.

Zdroje:

  • Časť textu je prevzatá zo slovenskej wikipédie
  • Obrázky sú prevzaté z wikipédie

Teplo a teplota

V bežnom živote často nerozlišujeme medzi teplom a teplotou. Ak povieš „Je mi teplo.„, ide čiastočne o subjektívny pocit, vedľa sediacemu kamarátovi môže byť zima. Ak povieme vonku je teplo, myslíme tým, že je vonku vysoká teplota.

Vo fyzike striktne rozlišujeme medzi teplom a teplotou.

Teplota je fyzikálna veličina, ktorá súvisí s vnútornou energiou látky.

Dve telesá majú rovnakú teplotu, ak priemerná kinetická energia ich častíc je rovnaká. O teplote má zmysel hovoriť len u makroskopických telies. Hovoriť o teplote jednotlivej častice nemá zmysel.

Základnou jednotkou teploty je Kelvin, značka K. Vedľajšou jednotkou je stupeň celzia, značka ^0C. V bežnom živote používame stupne celzia.

Continue reading

Elektrický prúd

Elektrický prúd je fyzikálna veličina. Je to usporiadaný pohyb elektrického náboja.

Značka elektrického prúdu je I.

Jednotkou elektrického prúdu je ampér, značka A.

Ak vodičom prechádza elektrický prúd jeden ampér, preteká ním náboj jeden coulomb za sekundu.

1A = 1C/s

Voľné elektróny vytvárajú v kovovom vodiči elektrický oblak. Voľné elektróny sa vo vodiči pohybujú chaoticky všetkými smermi. Hoci sa elektrický náboj pohybuje, zo štatistického hľadiska sa rovnaké množstvo elektrického náboja pohybuje jedným i druhým smerom a teda nejde o usporiadaný pohyb elektrónov a nejedná sa o elektrický prúd.

Ak konce vodiča pripojíme k zdroju elektrického napätia, elektróny sa začnú pohybovať ku kladnému pólu zdroja. Naďalej budú vykonávať aj chaotický tepelný pohyb, ale vo vodiči bude aj usporiadaná zložka tohto pohybu. Vznikne usporiadaný pohyb elektrického náboja, ktorý nazývame elektrický prúd. Na elektróny pôsobí príťažlivá sila, pohybujú sa zrýchlene, ale často narazia do atómov vodiča a ich pohyb sa spomalí. Vodičom bude prechádzať prúd stálej veľkosti.

Základné pojmy z optiky a základné vlastnosti svetla

Skladanie farieb cez farebné filtre

Viditeľné svetlo alebo len svetlo je elektromagnetické vlnenie s vlnovou dĺžkou približne 390 nm až 760 nm (nanometer je jedna miliardtina metra). Vnímame ho zrakom, pričom farba závisí od vlnovej dĺžky svetla (červená farba má najväčšiu a modrá najmenšiu vlnovú). Viditeľné svetlo tvorí 48% slnečného žiarenia. 

Oblasť fyziky, ktorá sa zaoberá viditeľným svetlom, sa nazýva optika.

Continue reading

Ovládanie korytnačky cez príkazový riadok

Po kliknutí na ikonu zelenej korytnačky sa spustí prostredie Imagine.

Hore sa zobrazí menu: Súbor Úpravy Ukázať Nastavenia Stránka Pomocník

Pod menu sú rôzne tlačítka. Ďalej nasleduje pracovná plocha, po ktorej sa pohybuje korytnačka (korytnačky).

Potom je pás, v ktorom je zoznam príkazov, ktoré sme korytnačke zadali a celkom dole je príkazový riadok, do ktorého zadávame príkazy korytnačke.

V tomto článku nájdete zoznam príkazov jazyka Imagine.

Continue reading

Sústava troch a viac lineárnych rovníc

Ak máme tri neznáme a všeobecne n neznámych, aby bolo riešenie jednoznačné, potrebujeme aspoň tri rovnice a všeobecne n rovníc. Ak máme tri neznáme, v matematike ich obvykle označíme písmenami x, y, z. Ak je neznámych viac, označujeme ich pomocou dolného indexu x_1, x_2, ...\, x_n. Sústavu troch lineárnych rovníc riešime podobne, ako sústavu dvoch lineárnych rovníc substitučnou metódou.

Continue reading

Sústava dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych

Kedysi ste sa naučili riešiť lineárnu rovnicu s jednou neznámou. V živote či vo vede sa stretávame aj so zložitejšími problémami, keď neznáme môžu byť dve a viac. V tomto článku si ukážeme, ako možno riešiť sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prvú neznámu obvykle označíme x, druhú y, ale inak na označení nezáleží (vo fyzike ich napríklad označíme značkami fyzikálnych veličín).

Continue reading

Exponenciálne rovnice

Video s touto témou

Exponenciálna funkcia so základom väčším ako 1 je rastúca a so základom menším ako 1 a väčším ako 0 je klesajúca. To znamená:

Ak\, a^x=a^y, \, potom\, x=y. (1)

alebo

Ak\, a^x\ne a^y, \, potom\, x\ne y. (2)

Túto vlastnosť využijeme pri riešení exponenciálnych rovníc.

Príklad 1: Vyriešte rovnicu \dfrac{1}{5^{2x-4}}=125

Pravú stranu upravíme na mocninu 5: 125=5^3

Pre ľavú stranu využijeme vzťah a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}.

Dostaneme: 5^{4-2x}=5^3

Teraz využijeme vzťah (1). Riešenie exponenciálnej rovnice sa zmení na riešenie lineárnej rovnice:

4-2x=3ň, /-3

1-2x=0\, /+2x

1=2x\, / :2

x=0,5

Skúška:

L: \dfrac{1}{5^{4-2x}}=\dfrac{1}{5^{4-2\cdot 0,5}}=\dfrac{1}{5^{-3}}=5^3=125

\underline{ L=P}

Skúška správnosti vyšla. Riešením rovnice je x=0,5.

Zhrnutie riešenia: Ak na ľavej aj pravej strane máme mocniny s rovnakým základom, riešime rovnicu, v ktorej sa majú rovnať exponenty. Ak nemáme rovnaký základ, nájdeme spoločný základ mocniny. V tomto príklade spoločným základom bolo číslo 5.

Príklad 2: Vyriešte 4^{x-2}=0,125

Ako vyjadriť 0,125, ako mocninu nejakého čísla? Čo je spoločným základom? Môže to byť 4? 4^{-1}=\dfrac{1}{4}=0,25

4^{-2}=\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{16}=0,0625

Zistili sme, že 4 to nie je. Číslo 4 je mocninou dvojky. 2^{-3}=\dfrac{1}{8}=0,125

Pôvodnú rovnicu upravíme do tvaru:

2^{2^{x-2}}=2^{-3}

Použijeme vzťah a^n^m=a^{n\cdot m} a dostaneme:

2^{2\cdot(x-2)=2^{-3}

Teraz stačí vyriešiť lineárnu rovnicu, v ktorej sa exponenty majú rovnať.

2\cdot{x-2}=-3

2x-4=-3 // +4

2x=1 // :2

x=0,5

Úlohy na riešenie:

  1. Tu pribudne niekoľko úloh

Nepriama úmernosť

Jeden robotník vykope 20 metrový kanál za 8 hodín. Za koľko hodín ho vykopú dvaja robotníci, ak sú rovnako výkonní?

Dvaja robotníci kanál vykopú dvakrát rýchlejšie, takže ho vykopú za 4 hodiny.

Auto išlo priemernou rýchlosťou 60 km za hodinu, z obce Pršany do obce Dažďany došlo za 1 hodinu. Na bicykli cyklista dosahuje na tej istej trati rýchlosť 20 km za hodinu, ako dlho mu cesta potrvá?

Cyklista ide trikrát pomalšie, cesta mu bude trvať trikrát tak dlho. Trasu prejde za tri hodiny.

Oba vyššie uvedené príklady boli príklady nepriamej úmernosti.

Nepriama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak vzťah medzi nimi možno vyjadriť vzorcom: y=\dfrac{k}{x}, kde k je konštanta úmernosti a k>0, \, k \in R

Continue reading

Priama úmernosť

Keď nakupujem rožky v obchode a jeden rožok stojí 8 centov, výsledná cena, ktorú zaplatím sa dá vyjadriť vzťahom: c=8 \cdot r, kde c je cena a r je počet rožkov.

Rožky012345678910
Cena
v centoch
08162432404856647280

Ak idem na bicykli konštantnou rýchlosťou 16 km za hodinu, dráha ktorú prejdem za nejaký čas sa dá vyjadriť vzťahom s=16 \cdot  t, kde s je dráha, a t je čas.

Čas0 min15 min30 min1 hod2 hod3 hod
Dráha 0 km4 km8 km16 km32 km48 km

Poznámka: 15 minút je štvrť hodiny.

Hore uvedené vzťahy boli príklady priamej úmernosti.

Priama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak hodnotu závislej premennej od nezávislej premennej možno vyjadriť vzorcom v tvare: y=k \cdot x, kde k>0, \, k \in R. Konštanta priamej úmernosti k, je kladné reálne číslo.

Continue reading

Základné pojmy pravdepodobnosti

Majme stanovený systém podmienok (napr. máme pravidelnú hraciu kocku, ktorej steny sú označené číslami 1, 2, . . . , 6). Proces (dej), ktorý môže nastať pri realizácii týchto podmienok (napr. hod hracou kockou) nazývame pokus. Vyžadujeme, aby každý pokus mal vlastnosť hromadnosti, t. j. aby sme ho mohli teoreticky ľubovoľne krát opakovať. Výsledok tohto procesu nie je jednoznačný, je náhodný, nazývame ho náhodným javom alebo náhodnou udalosťou (napr. padnutie šestky). Náhodný jav je výsledok pokusu. Množinu všetkých navzájom sa vylučujúcich výsledkov pokusu označujme gréckym písmenom \Omega. Jej prvky nazývame elementárne udalosti a označujeme ich písmenom e_i , t.j. \Omega = \{e_1, e_2, ... e_n\}. Podmnožiny množiny všetkých možných výsledkov pokusu nazývame náhodnými udalosťami.

Continue reading

Náhoda a pravdepodobnosť

Niektoré javy sú také, že vieme dopredu s absolútnou istotou povedať, čo sa stane za daných okolností:

  • ak zdvihneme teleso a pustíme ho, vieme že spadne na zem
  • ak priblížime k sebe dva magnety, začnú sa priťahovať alebo odpudzovať, podľa toho, ktoré póly magnetov sú bližšie k sebe
  • ak voda dosiahne 100 stupňov celzia pri normálnom tlaku, začne vrieť
  • ak teplota klesne pod 0 stupňov celzia pri normálnom tlaku, zmrzne

Iné javy sú také, že nevieme s istotou povedať čo nastane, ale vieme že nastane niektorá z možností:

  • hodíme kocku, padne jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale dopredu nevieme, ktoré z nich to bude
  • hodíme mincu, padne rub alebo líc
  • meteorológovia namerajú údaje v atmosfére a síce predpovedia, aké bude počasie, ale čas od času im predpoveď nevyjde
  • voda síce pri 100 stupňoch celzia začne vrieť, ale nevieme dopredu povedať, či konkrétna molekula vody bude ešte v hrnci o 5 sekúnd

Prvú triedu nazývame deterministické javy. Druhú triedu javov nazývame náhodné javy.

Continue reading

Precenenie tovaru

V praxi neraz budete tovar preceňovať. Buď ho o nejaké percentá zdražíte alebo zlacníte, alebo zmenu vypočítate pripočítaním alebo odpočítaním nejakej čiastky a spätne budete potrebovať zistiť o koľko percent ste cenu zvýšili alebo znížili.

Zlacnenie: Ak tovar chceme zlacniť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca: c_n=(1-p/100)\cdot c_p kde c_n je nová cena a c_p je pôvodná cena.

Príklad: Tovar stoji 70 euro, zlacníme ho 20%. Aká bude nová cena?
c_n=(1-20/100)\cdot 70=0,8\cdot 70=56
Nová cena bude 56 euro.

Zdraženie: Ak tovar chceme zdražiť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca c_n=(1+p/100)\cdot c_p kde c_n je nová cena a c_p je pôvodná cena.

Continue reading

Goniometrické funkcie

Ešte na základnej škole ste sa učili o podobnosti trojuholníkov.

Dva trojuholníky \Delta ABC,  \,  \Delta A'B'C' sú podobné ak platí: \dfrac{a' } {a}= \dfrac{b' } {b}= \dfrac{c' } {c}=k

Konštantu k nazývame koeficient podobnosti. Ak je k väčšie ako 1, trojuholník sme zväčšili, ak je menšie ako 1 zmenšili a ak je rovný 1, trojuholníky sú zhodné.

Učili ste sa tiež vetu UU.

Veta UU: Ak sú v dvoch trojuholníkoch dva uhly zhodné, potom sú trojuholníky podobné.

Zároveň vieme, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180 ^ \circ.

Z uvedených znalostí možno odvodiť, že ak máme dva pravouhlé trojuholníky a jeden z ostrých uhlov jedného trojuholníka je zhodný s ostrým uhlom v druhom trojuholníku, potom sú trojuholníky podobné, pretože majú dva zhodné uhly.

Z toho vyplýva, že pomer strán pravouhlých trojuholníkov s rovnakými uhlami je rovnaký a môžeme zaviesť funkcie uhlov, ktoré budú odvodené z pomerov strán pravouhlého trojuholníka:

a':b':c'=k.a:k.b.k.c=a:b:c

Continue reading

Radián

Na základnej škole ste veľkosť uhla merali v stupňoch, kde celý kruh mal 360 stupňov, pravý uhol mal 90 stupňov, rovnostranný trojuholník mal 60 stupňové uhly, …

Rozdelenie kruhu na 360 stupňov zaviedli už Babylončania. Vo fyzike sa ukázalo užitočné merať uhly v radiánoch.

Radián je uhol, ktorý s vrcholom v strede kružnice vytne na kružnici oblúk s dĺžkou rovnou dĺžke polomeru. Značka rad.

Obvod kruhu počítame podľa vzorca: o=2\pi r, potom 360 stupňom zodpovedá 2\pi\, rad

1 \, rad=  \dfrac{360}{2 \pi}\doteq  57,3^\circ

StupneRadiány
0 0
30 \dfrac{ \pi }{6}
45 \dfrac{ \pi }{4}
60 \dfrac{ \pi }{3}
90 \dfrac{ \pi }{2}
120 \dfrac{ 2\pi }{3}
180 \pi
270 \dfrac{ 3\pi }{2}
360 2 \pi

Riešenia percentá

  1. Koľko percent je 30 zo 120?
    • p=\dfrac{c}{z}\cdot 100=30\cdot 100:120=25\%
  2. Koľko percent je 25 z 80?
    • p=25\cdot 100:80=31,25\%
  3. Koľko percent je 15 zo 40?
    • p=37,5\%
  4. Koľko percent je 8 z 24?
    • p=33,33\%
  5. Ak je základ 400, koľko je 25%?
    • z=400, p=25, c =?
    • p=\dfrac{c}{z}\cdot 100
    • 25=\dfrac{c}{400}\cdot 100
    • 25 \cdot 400 :100=c
    • c=100
    • 25 % zo 400 je 100
  6. Ak je základ 280, koľko je 30%?
    • 100% ….. 280
    • 1% ………..2,8
    • 30% ………30 x 2,8= 84
    • 30% z 280 je 84
  7. Ak je základ 90, koľko je 47%?
    • 100% ………. 90
    • 1% …………… 0,9
    • 47% …………47 x 0,9=42,3
    • 47% z 90 je 42,3
  8. Ak je základ 333, koľko je 50%?
    • 50% je polovica, 333:2=166,5
    • 50% z 333 je 166,5
  9. Ak je 10% 7, koľko je základ?
    • p=\dfrac{c}{z}\cdot 100
    • z= \dfrac{c}{p}\cdot 100
    • z= \dfrac{7}{10}\cdot 100=70
    • Ak je 10% 7, potom je základ 70 .
  10. Ak je 33% 99, koľko je základ?
    • 33% ………. 99
    • 1 % ……….. 99:33=3
    • 100% ……..3.100=300
    • Ak je 33% 99, základ je 300.
  11. Ak je 75% 90, koľko je základ?
    • 75% …… 90
    • 1% ……… 90:75=1,2
    • 100% ….. 1,2 x 100=120
    • Ak je 75% 90, základ je 120.
  12. Ak je 13% 26, koľko je základ?
    • 13% ……… 26
    • 1% ……….. 26:13=2
    • 100% ……. 2 x 100=200
    • Ak je 13% 26, základ je 200.
  13. Po zlacnení o 20% televízor stoji 400 euro. Koľko stál pred zlacnením?
    • Ak televízor zlacnel o 20%, jeho aktuálna cena je 80% pôvodnej ceny.
    • 80%……400
    • 1% ……..400:80=5
    • 100%…..5 x 100=500
    • Televízor pred zlacnením stál 500 euro.
  14. Po zlacnení o 25% stojí práčka 300 euro. Koľko stála pred zlacnením?
    • 100-25=75. Aktuálna cena je 75% pôvodnej ceny.
    • 75%…….300
    • 1%……….300:75=4
    • 100%…..4.100=400
  15. Po zdražení o 10% stojí auto 7700 euro. Koľko stálo pôvodne?
    • 100+10=110. Nová cena je 110% p;vodnej ceny.
    • 110%……7700
    • 1%………..7700:110=70
    • 100%……70.100=7000
  16. Pred zdražením stál lístok MHD 60 centov, po zdražení stojí 90 centov. Koľko percentné zdraženie to bolo?
    • 100%…….60
    • 1%………..60:100=0,6
    • zdraženie je 90-60=30
    • 30:0,6=50
    • Zdraženie lístkov bolo 50%.
  17. Mesačník na MHD stál 20 euro, po zdražení stojí 25 euro. Koľko percentné zdraženie to bolo?
    • 100%…………20
    • 1%…………….0,20
    • zdraženie 25-20=5
    • 5:0,2=25
    • Zdraženie mesačníkov bolo 25%.
  18. Pred zdražením som jazdil mesačne priemerne 25 krát s MHD, teraz jazdím o 40% menej často. O koľko odo mňa získa na tržbách dopravný podnik viac alebo menej za celý rok oproti minulosti?
    • Rok má 12 mesiacov, pôvodne som minul 12.25.0,6=180 euro
    • 25.0,6=15 jázd mesačne po zdražení
    • ročne 12.15.0,9=162 euro
    • 180-162=18
    • Dopravný podnik odo mňa získa ročne o 18 euro menej ako pred zdražením.

Percentá

Neraz sa stáva, že potrebujeme porovnať dva či viac objektov rovnakého druhu z hľadiska ich štruktúry, pričom objekty nie sú rovnako veľké. Majme dve školy, na jednu chodí 400 žiakov z toho 100 dievčat, na druhú 600 žiakov z toho 120 dievčat. Hoci na druhú školu chodí v absolútnej hodnote dievčat viac, relatívne ich tam chodí menej. Relatívny počet dievčat na oboch školách možno vyjadriť zlomkami:

d_{1}= \dfrac{100}{400}= \dfrac{1}{4} a d_{2}= \dfrac{120}{600}= \dfrac{1}{5}

Keď porovnávame relatívne počty, stalo sa zvykom, že relatívny počet prevedieme na zlomok s menovateľom 100 a aby sme nemuseli písať zlomok píšeme znak %.

Hore uvedené zlomky potom prejdú do tvaru d_{1} = \dfrac{25}{100}= 25\% a d_{2}= \dfrac{20}{100}= 20\%.

Znak % čítame ako percento, názov pochádza z latinského per cento znamenajúce na sto podobne ako jeden cent je stotina eura.

Continue reading

Pascalov trojuholník

Blaise Pascal

Hoci sa Pascalov trojuholník nazýva podľa matematika Blaise Pascala, neobjavil ho on, ale poznali ho už v 13. storočí čínski matematici. Pascal však tento trojuholník a vzťahy ktoré v ňom platia preštudoval do hĺbky a tak bol pomenovaný po ňom.

Ako vytvoríme Pascalov trojuholník?

Do nultého riadku napíšeme 1, do prvého dve jednotky tak, že jednotka z predchádzajúceho riadku je v strede medzi nimi. Na začiatok a koniec každého ďalšieho riadku napíšeme jednotku a na ostatné pozície napíšeme súčet čísel, ktoré sú nad ním vľavo a vpravo. Tak ako ukazuje animovaný obrázok:

Možno dokázať, že jednotlivé čísla Pascalovho trojuholníka zodpovedajú kombinačným číslam.

n \sum
0 {0 \choose 0} 2 ^ 0=1
n=1 {1 \choose 0} {1 \choose 1} 2 ^ 1=2
n=2 {2 \choose 0} {2 \choose 1} {2 \choose 2} 2 ^ 2=4
n=3 {3 \choose 0} {3 \choose 1} {3 \choose 2} {3 \choose 3} 2 ^ 3=8
n=4 {4 \choose 0} {4 \choose 1} {4 \choose 2} {4 \choose 3} {4 \choose 4} 2 ^ 4=16
n=5 {5 \choose 0} {5 \choose 1} {5 \choose 2} {5 \choose 3} {5 \choose 4} {5 \choose 5} 2 ^ 5=32

Vlastnosti Pascalovho trojuholníka

  • Pascalov trojuholník je osovo súmerný podľa osi prechádzajúcej horným vrcholom.
  • Súčet čísel v každom riadku zodpovedá n-tej mocnine čísla 2.
  • {n \choose k}= {n-1 \choose k-1}+ {n-1 \choose k} pre n > 0

Kombinačné čísla

Počet kombinácií bez opakovania sme vyjadrili vzorcom:

K(n)= \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}

Kombinačné číslo zapisujeme ako {n \choose k} , čítame ako n nad k a jeho hodnotu vypočítame rovnako ako počet kombinácií bez opakovania: {n \choose k}= \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot  k!}

Kombinačné čísla sa vyskytujú nielen v kombinatorike, ale aj pri iných matematických úlohách. Napríklad koeficienty pri rozpísaní mocniny (a+b)^n usporiadané zostupne podľa exponentov pri a.

Zákon sily

Zo skúsenosti vieme, že:

  • oveľa ľahšie roztlačíme vozík s malým dieťaťom než rovnaký vozík s ťažkým chlapom
  • ak sa rovnakou rýchlosťou pohybuje vozík s malým dieťaťom a s ťažkým chlapom, vozīk s dieťaťom zastavīme výrazne ľahšie

Pokus: K prázdnemu a naloženému vozíku priviažeme špagáty, tie vedieme cez kladky a na druhý koniec špagátov priviažeme rovnaké závažia. Prázdny vozík bude mať väčšie zrýchlenie než plný, pričom na oba vozíky pôsobila rovnaká sila.

Na základe podobných pokusov môžeme odvodiť zákon sily.

Zákon sily (2. Newtonov pohybový zákon): Zrýchlenie telesa v inerciálnej vzťažnej sústave je priamo úmernė sile, ktorá naň pôsobī a nepriamo úmerné hmotnosti telesa.

Continue reading

Zákon zotrvačnosti

Každodenne sa stretåvame s takýmito a podobnými javmi:

  • ak cestujeme mestskou hromadnou dopravou a šofér prudko akceleruje, ak sa nedržíme, môžeme spadnúť, zdá sa nám, akoby na nás pôsobila sila, pôsobiaca v opačnom smere, než je smer pohybu vozidla
  • ak vodič prudko zabrzdí, naopak nás nejaká sila „hodí“ dopredu
  • ak vodič prechádza rýchlo zákrutou, nejaká sila nás tlačí nabok
  • keď sa v pračke začne bubon otáčať vo vysokých obrátkach, prádlo sa vyžmýka

Všetký tieto javy sú dôsledkom zákona zotrvačnosti.

Zákon zotrvačnosti (1. Newtonov pohybový zákon): Teleso v inerciálnej sústave zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, ak výslednica síl naň pôsobiacich je nulová.

Continue reading