Exponenciálna funkcia so základom väčším ako 1 je rastúca a so základom menším ako 1 a väčším ako 0 je klesajúca. To znamená:
. (1)
alebo
. (2)
Túto vlastnosť využijeme pri riešení exponenciálnych rovníc.
Príklad 1: Vyriešte rovnicu
Pravú stranu upravíme na mocninu 5:
Pre ľavú stranu využijeme vzťah .
Dostaneme:
Teraz využijeme vzťah (1). Riešenie exponenciálnej rovnice sa zmení na riešenie lineárnej rovnice:
Skúška:
Skúška správnosti vyšla. Riešením rovnice je .
Zhrnutie riešenia: Ak na ľavej aj pravej strane máme mocniny s rovnakým základom, riešime rovnicu, v ktorej sa majú rovnať exponenty. Ak nemáme rovnaký základ, nájdeme spoločný základ mocniny. V tomto príklade spoločným základom bolo číslo 5.
Príklad 2: Vyriešte
Ako vyjadriť 0,125, ako mocninu nejakého čísla? Čo je spoločným základom? Môže to byť 4?
Zistili sme, že 4 to nie je. Číslo 4 je mocninou dvojky.
Pôvodnú rovnicu upravíme do tvaru:
Použijeme vzťah a dostaneme:
Teraz stačí vyriešiť lineárnu rovnicu, v ktorej sa exponenty majú rovnať.
Majme trojuholník ABC, z vrcholu C veďme výšku na stranu c, ako ilustruje obrázok vpravo. Výška rozdelila trojuholník na dva pravouhlé trojuholníky a .
Jeden robotník vykope 20 metrový kanál za 8 hodín. Za koľko hodín ho vykopú dvaja robotníci, ak sú rovnako výkonní?
Dvaja robotníci kanál vykopú dvakrát rýchlejšie, takže ho vykopú za 4 hodiny.
Auto išlo priemernou rýchlosťou 60 km za hodinu, z obce Pršany do obce Dažďany došlo za 1 hodinu. Na bicykli cyklista dosahuje na tej istej trati rýchlosť 20 km za hodinu, ako dlho mu cesta potrvá?
Cyklista ide trikrát pomalšie, cesta mu bude trvať trikrát tak dlho. Trasu prejde za tri hodiny.
Oba vyššie uvedené príklady boli príklady nepriamej úmernosti.
Nepriama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak vzťah medzi nimi možno vyjadriť vzorcom: , kde k je konštanta úmernosti a
Keď nakupujem rožky v obchode a jeden rožok stojí 8 centov, výsledná cena, ktorú zaplatím sa dá vyjadriť vzťahom: , kde c je cena a r je počet rožkov.
Rožky
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Cena v centoch
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
Ak idem na bicykli konštantnou rýchlosťou 16 km za hodinu, dráha ktorú prejdem za nejaký čas sa dá vyjadriť vzťahom , kde s je dráha, a t je čas.
Čas
0 min
15 min
30 min
1 hod
2 hod
3 hod
Dráha
0 km
4 km
8 km
16 km
32 km
48 km
Poznámka: 15 minút je štvrť hodiny.
Hore uvedené vzťahy boli príklady priamej úmernosti.
Priama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak hodnotu závislej premennej od nezávislej premennej možno vyjadriť vzorcom v tvare: , kde . Konštanta priamej úmernosti k, je kladné reálne číslo.
Majme stanovený systém podmienok (napr. máme pravidelnú hraciu kocku, ktorej steny sú označené číslami 1, 2, . . . , 6). Proces (dej), ktorý môže nastať pri realizácii týchto podmienok (napr. hod hracou kockou) nazývame pokus. Vyžadujeme, aby každý pokus mal vlastnosť hromadnosti, t. j. aby sme ho mohli teoreticky ľubovoľne krát opakovať. Výsledok tohto procesu nie je jednoznačný, je náhodný, nazývame ho náhodným javom alebo náhodnou udalosťou (napr. padnutie šestky). Náhodný jav je výsledok pokusu. Množinu všetkých navzájom sa vylučujúcich výsledkov pokusu označujme gréckym písmenom . Jej prvky nazývame elementárne udalosti a označujeme ich písmenom , t.j. . Podmnožiny množiny všetkých možných výsledkov pokusu nazývame náhodnými udalosťami.
V praxi neraz budete tovar preceňovať. Buď ho o nejaké percentá zdražíte alebo zlacníte, alebo zmenu vypočítate pripočítaním alebo odpočítaním nejakej čiastky a spätne budete potrebovať zistiť o koľko percent ste cenu zvýšili alebo znížili.
Zlacnenie: Ak tovar chceme zlacniť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca: kde je nová cena a je pôvodná cena.
Príklad: Tovar stoji 70 euro, zlacníme ho 20%. Aká bude nová cena? Nová cena bude 56 euro.
Zdraženie: Ak tovar chceme zdražiť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca kde je nová cena a je pôvodná cena.
Ešte na základnej škole ste sa učili o podobnosti trojuholníkov.
Dva trojuholníky sú podobné ak platí:
Konštantu k nazývame koeficient podobnosti. Ak je k väčšie ako 1, trojuholník sme zväčšili, ak je menšie ako 1 zmenšili a ak je rovný 1, trojuholníky sú zhodné.
Učili ste sa tiež vetu UU.
Veta UU: Ak sú v dvoch trojuholníkoch dva uhly zhodné, potom sú trojuholníky podobné.
Zároveň vieme, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je .
Z uvedených znalostí možno odvodiť, že ak máme dva pravouhlé trojuholníky a jeden z ostrých uhlov jedného trojuholníka je zhodný s ostrým uhlom v druhom trojuholníku, potom sú trojuholníky podobné, pretože majú dva zhodné uhly.
Z toho vyplýva, že pomer strán pravouhlých trojuholníkov s rovnakými uhlami je rovnaký a môžeme zaviesť funkcie uhlov, ktoré budú odvodené z pomerov strán pravouhlého trojuholníka:
Na základnej škole ste veľkosť uhla merali v stupňoch, kde celý kruh mal 360 stupňov, pravý uhol mal 90 stupňov, rovnostranný trojuholník mal 60 stupňové uhly, …
Rozdelenie kruhu na 360 stupňov zaviedli už Babylončania. Vo fyzike sa ukázalo užitočné merať uhly v radiánoch.
Radián je uhol, ktorý s vrcholom v strede kružnice vytne na kružnici oblúk s dĺžkou rovnou dĺžke polomeru. Značka rad.
Obvod kruhu počítame podľa vzorca: , potom 360 stupňom zodpovedá
Po zlacnení o 20% televízor stoji 400 euro. Koľko stál pred zlacnením?
Ak televízor zlacnel o 20%, jeho aktuálna cena je 80% pôvodnej ceny.
80%……400
1% ……..400:80=5
100%…..5 x 100=500
Televízor pred zlacnením stál 500 euro.
Po zlacnení o 25% stojí práčka 300 euro. Koľko stála pred zlacnením?
100-25=75. Aktuálna cena je 75% pôvodnej ceny.
75%…….300
1%……….300:75=4
100%…..4.100=400
Po zdražení o 10% stojí auto 7700 euro. Koľko stálo pôvodne?
100+10=110. Nová cena je 110% p;vodnej ceny.
110%……7700
1%………..7700:110=70
100%……70.100=7000
Pred zdražením stál lístok MHD 60 centov, po zdražení stojí 90 centov. Koľko percentné zdraženie to bolo?
100%…….60
1%………..60:100=0,6
zdraženie je 90-60=30
30:0,6=50
Zdraženie lístkov bolo 50%.
Mesačník na MHD stál 20 euro, po zdražení stojí 25 euro. Koľko percentné zdraženie to bolo?
100%…………20
1%…………….0,20
zdraženie 25-20=5
5:0,2=25
Zdraženie mesačníkov bolo 25%.
Pred zdražením som jazdil mesačne priemerne 25 krát s MHD, teraz jazdím o 40% menej často. O koľko odo mňa získa na tržbách dopravný podnik viac alebo menej za celý rok oproti minulosti?
Rok má 12 mesiacov, pôvodne som minul 12.25.0,6=180 euro
25.0,6=15 jázd mesačne po zdražení
ročne 12.15.0,9=162 euro
180-162=18
Dopravný podnik odo mňa získa ročne o 18 euro menej ako pred zdražením.
Neraz sa stáva, že potrebujeme porovnať dva či viac objektov rovnakého druhu z hľadiska ich štruktúry, pričom objekty nie sú rovnako veľké. Majme dve školy, na jednu chodí 400 žiakov z toho 100 dievčat, na druhú 600 žiakov z toho 120 dievčat. Hoci na druhú školu chodí v absolútnej hodnote dievčat viac, relatívne ich tam chodí menej. Relatívny počet dievčat na oboch školách možno vyjadriť zlomkami:
a
Keď porovnávame relatívne počty, stalo sa zvykom, že relatívny počet prevedieme na zlomok s menovateľom 100 a aby sme nemuseli písať zlomok píšeme znak %.
Hore uvedené zlomky potom prejdú do tvaru a .
Znak % čítame ako percento, názov pochádza z latinského per cento znamenajúce na sto podobne ako jeden cent je stotina eura.
Hoci sa Pascalov trojuholník nazýva podľa matematika Blaise Pascala, neobjavil ho on, ale poznali ho už v 13. storočí čínski matematici. Pascal však tento trojuholník a vzťahy ktoré v ňom platia preštudoval do hĺbky a tak bol pomenovaný po ňom.
Ako vytvoríme Pascalov trojuholník?
Do nultého riadku napíšeme 1, do prvého dve jednotky tak, že jednotka z predchádzajúceho riadku je v strede medzi nimi. Na začiatok a koniec každého ďalšieho riadku napíšeme jednotku a na ostatné pozície napíšeme súčet čísel, ktoré sú nad ním vľavo a vpravo. Tak ako ukazuje animovaný obrázok:
Možno dokázať, že jednotlivé čísla Pascalovho trojuholníka zodpovedajú kombinačným číslam.
n
0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
Vlastnosti Pascalovho trojuholníka
Pascalov trojuholník je osovo súmerný podľa osi prechádzajúcej horným vrcholom.
Súčet čísel v každom riadku zodpovedá n-tej mocnine čísla 2.
Počet kombinácií bez opakovania sme vyjadrili vzorcom:
Kombinačné číslo zapisujeme ako , čítame ako n nad k a jeho hodnotu vypočítame rovnako ako počet kombinácií bez opakovania:
Kombinačné čísla sa vyskytujú nielen v kombinatorike, ale aj pri iných matematických úlohách. Napríklad koeficienty pri rozpísaní mocniny usporiadané zostupne podľa exponentov pri a.
oveľa ľahšie roztlačíme vozík s malým dieťaťom než rovnaký vozík s ťažkým chlapom
ak sa rovnakou rýchlosťou pohybuje vozík s malým dieťaťom a s ťažkým chlapom, vozīk s dieťaťom zastavīme výrazne ľahšie
Pokus: K prázdnemu a naloženému vozíku priviažeme špagáty, tie vedieme cez kladky a na druhý koniec špagátov priviažeme rovnaké závažia. Prázdny vozík bude mať väčšie zrýchlenie než plný, pričom na oba vozíky pôsobila rovnaká sila.
Na základe podobných pokusov môžeme odvodiť zákon sily.
Zákon sily (2. Newtonov pohybový zákon): Zrýchlenie telesa v inerciálnej vzťažnej sústave je priamo úmernė sile, ktorá naň pôsobī a nepriamo úmerné hmotnosti telesa.
Každodenne sa stretåvame s takýmito a podobnými javmi:
ak cestujeme mestskou hromadnou dopravou a šofér prudko akceleruje, ak sa nedržíme, môžeme spadnúť, zdá sa nám, akoby na nás pôsobila sila, pôsobiaca v opačnom smere, než je smer pohybu vozidla
ak vodič prudko zabrzdí, naopak nás nejaká sila „hodí“ dopredu
ak vodič prechádza rýchlo zákrutou, nejaká sila nás tlačí nabok
keď sa v pračke začne bubon otáčať vo vysokých obrátkach, prádlo sa vyžmýka
Všetký tieto javy sú dôsledkom zákona zotrvačnosti.
Zákon zotrvačnosti (1. Newtonov pohybový zákon): Teleso v inerciálnej sústave zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, ak výslednica síl naň pôsobiacich je nulová.
Newtonove pohybové zákony alebo Newtonove zákony pohybu alebo Newtonove princípy sú základné zákony mechaniky, ktoré zverejnil Isaac Newton v diele Philosophiae naturalis principia mathematica v r. 1687. Tvoria axiomatický základ Newtonovej mechaniky.
Newtonov pohybový zákon (zákon zotrvačnosti): Teleso v inerciálnej sústave zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, ak výslednica síl, ktoré naň pôsobia je nulová.
Newtonov pohybový zákon (zákon sily): Zmena hybnosti telesa za jednotku času je priamo úmerná veľkosti pôsobiacej sily.
Newtonov pohybový zákon (zákon akcie a reakcie): Ak jedno teleso pôsobí na druhé teleso nejakou silou, druhé teleso pôsobí na prvé teleso rovnako veľkou silou opačného smeru.
Newtonove pohybové zákony umožňujú určiť, aký bude pohyb telesa v inerciálnej vzťažnej sústave, ak sú známe všetky sily, ktoré naň pôsobia.
Podrobnejšie v jednotlivých článkoch o pohybových zákonoch.
Štatistika alebo matematická štatistika je odbor matematiky, ktorý skúma štatistické súbory – súbory štatistických jednotiek. Zosumarizujú sa znaky jednotlivých jednotiek a potom sa vyhodnotia charakteristické znaky celého štatistického súboru.
Štatistika úzko súvisí s pravdepodobnosťou. Niekedy môžeme preskúmať iba časť celku, vyhodnotením štatistických charakteristík tejto časti vieme s istou spoľahlivosťou určiť charakteristiky celého súboru.
Základné pojmy štatistiky
Štatistický súbor je súbor štatistických jednotiek s nejakou spoločnou vlastnosťou.
Štatistická jednotka je prvok štatistického súboru, jednotlivý objekt štatistického skúmania: osoba pri sčítaní obyvateľstva; častica pri skúmaní vlastností plynov, kvapalín; domácnosť pri výskume vybavenosti domácností…
Rozsah štatistického súboru je počet štatistických jednotiek v štatistickom súbore, .
Niektoré výroky obsahujú slová každý, všetci, existuje, …
Každý a všetci neznamená to isté. Výroky:
Každý žiak triedy dostal z písomky jednotku.
Všetci žiaci triedy dostali z písomky jednotku.
sú ekvivalentné, ale napríklad výroky
Každý človek sa zmestí do tejto skrine.
Všetci ľudia sa zmestia do tejto skrine.
ekvivalentné nie sú. Z uvedeného vidno, že hovorová reč často nie je presná, máme v druhom výroku na mysli všetci súčasne alebo osobitne ako v prvom výroku?
Poznámka: Jeden zo žiakov uviedol iný príklad, kedy slovo každý nemožno nahradiť slovom všetci: Každý druhý.
Všeobecný kvantifikátor: Slovo každý(-á,-é) v matematike vyjadrujeme symbolom . Tento symbol nazývame všeobecný kvantifikátor.
Existenčný kvantifikátor: Slovo existuje v matematike vyjadrujem symbolom . Tento symbol nazývame existenčný kvantifikátor.
Aký má funkcia priebeh najlepšie uvidíme, ak nakreslíme jej graf.
Najprv nakreslíme súradnicové osy x a y a zvolíme veľkosť jednotkovej úsečky. Obvykle volíme rovnaké jednotkové úsečky pre os x aj y, ale ak funkcia prudko rastie alebo klesá, či naopak, y hodnoty budú v absolútnej hodnote výrazne menšie než hodnoty x môžeme zvoliť rôzne jednotkové úsečky.
Potom si vytvoríme tabuľku, do ktorej zapíšeme hodnoty x do prvého riadku a hodnoty y do druhého riadku. Ak by sme mali napríklad funkciu f(x)=x 2, mohla by tabuľka vyzerať takto:
x
-4
-3
-2
-1
-0,5
0
0,5
1
2
3
4
y
16
9
4
1
0,25
0
0,25
1
4
9
16
Vedieme kolmice na os x v bodoch z prvého riadku a kolmice na os y v bodoch druhého riadku, kde sa tieto kolmice pretnú, označíme bod krúžkom. Keď sme vyznačili všetky body z tabuľky, prepojíme ich krivkou.
Príklad 1: Trieda má 20 žiakov, koľkými spôsobmi z nich možno vytvoriť týždenníkov. Riešenie: Prvého týždenníka môžeme vybrať z 20 možností a druhého z 19, ale u týždenníkov neurčujeme, ktorý z nich je prvý alebo druhý týždenník, takže ak ako prvého týždenníka zvolíme pôvodne druhého týždenníka a naopak, je to stále tá istá voľba, takže Súčin 20 krát 19 musíme predeliť dvoma. Celkový počet možností je teda 190.
Príklad 2: V hre loto sa žrebuje 6 čísel plus dodatkové číslo zo 49 čísel. Aká je pravdepodobnosť, že hráč vyhrá jackpot, ak podal jeden tip?
Než budeme riešiť druhý príklad, zadefinujeme, čo je to kombinácia.
Kombinácia k-tej triedy z n-prvkov bez opakovania je výber k prvkov z n-prvkovej množiny, pričom nezáleží na poradí prvkov a prvky sa neopakujú.
Koľko permutácií s opakovaním možno vytvoriť z písmen slova OKOLO?
V krabičke je 10 farbičiek: 4 červené, 3 modré, 2 žlté a jedna zelená. Koľkými spôsobmi ich môžeme usporiadať, ak farbičky rovnakej farby nevieme rozlíšiť?
Osem študentov sa môže ubytovať v troch izbách, pričom dve sú trojposteľové a jedna dvojposteľové. Koľkými spôsobmi sa môžu študenti ubytovať?
Šesťciferný kód na trezore sa skladá z rovnakých číslic ako číslo 926002 a zlodej to vie. Ako najdlhšie by zlodejovi trvalo, než by trezor otvoril, ak nastavenie jednej kombinácie číslic trvá 5 sekúnd?
Koľko rôznych aj bezvýznamových slov možno zostaviť zo slova MATEMATIKA, ak sa použijú všetky písmená?
Príklad: Šachového turnaja sa zúčastnilo 8 hráčov. Koľko rôznych umiestnení mohlo byť na prvých troch miestach?
Riešenie: Na prvom mieste mohlo byť 8 hráčov, ak už na prvom mieste máme hráča, na druhom môže byť 7 hráčov a na treťom už len 6, lebo dvaja už sú na prvom a druhom. Počet možných umiestnení na prvých troch miestach je teda 8.7.6=336.
Príklad: Trieda má 20 žiakov. Žiaci si idú voliť triedny výbor: predsedu, podpredsedu a pokladníka. Koľko rôznych zostáv môže mať výbor triedy.
Riešenie: Za predsedu môže byť zvolených 20 žiakov, za podpredsedu už len 19, lebo predseda nemôže byť aj podpredsedom a za pokladníka 18, lebo pokladník nemôže byť zároveň predsedom alebo podpredsedom. Počet rôznych zostáv výboru je 20.19.18=6840.
Oba vyššie uvedené príklady boli príkladmi variácií bez opakovania, keď každý prvok sa vo výbere mohol vyskytnúť iba raz a záležalo na poradí prvkov.
Variácia k-tej triedy z n prvkovej množiny je výber k prvkov z n prvkov.
Ak sa prvky nemôžu opakovať, je to variácia bez opakovania.
Ak sa prvky opakovať môžu, je to variácia s opakovaním.
Kombinatorika je matematická disciplína, ktorá sa zaoberá kombinovaním rôznych súborov objektov. Napr. Koľko je možných rôznych poradí na prvých troch miestach, ak je súťažiacich 10? Aká je pravdepodobnosť jackpotu v lotte? Ako spravodlivo nasadiť družstvá v turnaji? Ako zostaviť rozvrh školy, aby vyhovoval daným kritériám?
Výsledky kombinatoriky sa využívajú napríklad pri výpočtoch pravdepodobnosti.
Príklad: Koľko existuje dvojciferných čísel, v ktorých sa číslice neopakujú?
Funkcia na množine D je ľubovoľný predpis, ktorý každému prvku množiny D priradí práve jedno reálne číslo. Funkciu označujeme malým písmenom.
Prvky množiny D nazývame nezávislá premenná, ich obrazy sú závislá premenná. Nezávislú premennú obvykle označujeme x a závislú y, ale môžeme zvoliť také označenie, aby bolo zrejmé čo tieto premenné označujú. napríklad , kde je dráha, je konštantná alebo priemerná rýchlosť a je čas.
Výroky môžeme spájať logickými spojkami. Spojením dvoch elementárnych výrokov vznikne zložený výrok. Logické spojky predstavujú operátory logických operácií.
negácia – pred pôvodný výrok napíšeme nie je pravda že, tiež môžeme napísať predponu ne-. Negáciu výroku A môžeme označiť A‘ alebo použiť operátor . Pri programovaní alebo v exceli používame NOT.
konjukcia – a, ako operátor sa namiesto a môžu použiť , &. Pri programovaní alebo v exceli AND
disjunkcia – alebo, ako operátor sa namiesto alebo používa . Pri programovaní a v exceli OR.
exkluzívna disjunkcia – vylučujúce alebo, buď … alebo. Ako operátor použijeme pri programovaní a exceli XOR, pri matematickom zápise môžeme použiť .
implikácia – ak A potom B, ak A tak B, z A vyplýva B, A implikuje B. Ako operátor používame
ekvivalencia – A práve vtedy a len vtedy ak B. Ako operátor používame
Logika sa používa vo všetkých vedeckých disciplínach, ale aj v bežnom živote.
Matematická logika je matematická disciplína, ktorá skúma logické výroky a logické súdy z formálneho hľadiska. Študuje pravdivosť zložených výrokov na základe pravdivosti / nepravdivosti elementárnych výrokov.
Logický výrok alebo len výrok je oznamovacia veta, o ktorej vieme rozhodnúť, či je pravdivá alebo nepravdivá.
Algebraický výraz je zápis skladajúci sa z čísel a z písmen (tie označujú premenné), ktoré sú pospájané znakmi matematických operácií, ako sú napríklad sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocnenie, odmocnenie, goniometrické funkcie, logaritmy, absolútna hodnota, atď. Môžu obsahovať aj zátvorky, ktoré určujú poradie (prioritu) vykonávania naznačených operácií. Výrazy sú napríklad zápisy:
Ak namiesto premenných zadáme konkrétne číselné hodnoty, dostaneme hodnotu algebraického výrazu.
Elektrický odpor môžeme merať dvoma spôsobmi: ohmmetrom alebo odmeriame napätie na koncoch zariadenia a prúd prechádzajúci zariadením a elektrický odpor vypočítame z Ohmovho zákona:
Počítame v desiatkovej sústave. Čislo 3456 možno zapísať v tvare:
Čísla 1, 10, 100, 1000 sú mocniny čísla 10, takže toto číslo môžeme zapísať aj v tvare:
Podobne aj desatinné čísla môžeme zapísať ako súčet mocnín čísla desať:
Niekedy spracujeme s veľmi veľkými alebo s veľmi malými číslami. Často je pohodlnejšie takéto čísla zapísať v tvare súčinu nejakého čísla a mocniny desiatky. Napríklad číslo: 1 235 000 000 – jedna miliarda 235 miliónov možno zapísať takto:
Už na základnej škole ste sa stretli s druhou a treťou mocninou a so zovšeobecnením pre umocňovanie na ľubovolné prirodzené číslo.
Druhá mocnina:
Druhu mocninu ste používali napríklad pri výpočte obsahu štvorca a kruhu a pri Pytagorovej vete.
Obsah štvorca so stranou :
Obsah kruhu s polomerom :
Pytagorova veta:
Tretia mocnina:
Tretiu mocninu ste používali napríklad pri výpočte objemu kocky a objemu gule.
Objem kocky so stranou :
Objem gule s polomerom :
n-tá mocnina
Zovšeobecnením môžeme zaviesť mocninu na n:
Súčin n rovnakých činiteľov nazývame n-tá mocnina.
Pravidlá pre počítanie s mocninami
Možno dokázať nasledujúce pravidlá pre počítanie s mocninami:
Dôkazy nájdete v tomto článku (zatiaľ nenapísané)
Príklady:
Vzorec:
Čo je prvá mocnina?
Použili sme vzorec pre delenie mocnín s rovnakým základom a skutočnosť, že v čitateľovi sa nachádza o jeden raz častejšie než v menovateľovi, takže po vykrátení nám zostane len .
Čo je nultá mocnina?
Znova sme použili vzorec a skutočnnosť, že podiel dvoch rovnakých čísel je 1.
Keď je nameraná veličina výrazne väčšia alebo menšia než jednotka veličiny, zvykneme je uviesť vo väčších alebo menších jednotkách, musíme preto poznať spôsob prevodu na väčšie alebo menšie jednotky.
Prirodzené čísla: Čísla, ktoré označujú počet alebo poradie nazývame prirodzené čísla. Množinu prirodzených čísel označujeme písmenom N.
Podľa tejto definície je aj nula prirodzené číslo, niektoré matematické kurzy nulu za prirodzené číslo nepovažujú.
kde .
Čísla označujúce poradie sa tiež nazývajú ordinálne čísla(z angl. order). Čísla označujúce počet prvkov množiny, respektíve veľkosť množiny sa tiež nazývajú kardinálne čísla.
Súčet dvoch prirodzených čísel je prirodzené číslo. Množina prirodzených čísel je vzhľadom na operáciu sčítania uzavretá.
Množina prirodzených čísel nie je vzhľadom na operáciu odčítania uzavretá. Napríklad 2-3 nie je prirodzené číslo. Ak chceme zadefinovať množinu, ktorá je vzhľadom na operáciu odčítania uzavretá, dospejeme k pojmu množina celých čísel.
Celé čísla: Celé čísla sú zjednotením množiny prirodzených čísel a čísel k nim opačných. Opačné číslo k číslu a je -a. K -a dospejeme aj takto 0-a=-a. Súčet opačných čísel je nula. Množinu celých čísel označujeme písmenom Z.
Množina celých čísel je uzavretá vzhľadom na operácie: sčítanie, odčítanie a násobenie. Ak chceme, aby sme dostali množinu, ktorá je uzavretá aj na operáciu delenie, dospejeme k množine racionálnych čísel.
Racionálne čísla: Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno vyjadriť v tvare zlomku:
kde .
Racionálne čísla označujeme písmenom Q.
Množina racionálnych čísel je uzavretá vzhľadom na operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie s výnimkou delenia nulou. Ak si zavedieme operácie umocňovanie a k nej opačnú (inverznú operáciu) odmocňovanie, tak zistíme, že množina racionálnych čísel znova nie je uzavretá vzhľadom na operáciu odmocňovanie. Keď však zostrojíme štvorec so stranou 1, tak vidíme, že existuje úsečka, ktorá má dĺžku . je to uhlopriečka tohto štvorca. Možno pritom dokázať, že nemožno vyjadriť v tvare zlomku. Takto dospejeme k pojmu množina reálnych čísel.
Reálne čísla: Reálne čísla sú čísla, ktoré možno zobraziť na číselnej osi. Reálne čísla sú dĺžky všetkých úsečiek. Reálne čísla označujeme písmenom R.
Iracionálne čísla: Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne nazývame iracionálne čísla. Nedajú sa vyjadriť v tvare zlomku dvoch celých čísel.
Pre horeuvedené číselné množiny platí:
Slovom N je podmnožinou Z, Z je podmnožinou Q a Q je podmnožinou R.
V živote sa často stretávame so situáciou, keď je celok rozdelený na niekoľko rovnakých častí. Napríklad pizza, čokoláda, bomboniera s rovnakými cukríkmi, …
Matematika by mala poskytovať aparát, ktorý umožňuje počítať s takýmito časťami celku. Časť celku, či viacero rovnakých častí celku nazývame zlomok.
Zlomok je číslo v tvare
je množina celých čísel, je znak patrí do množiny. Vyššie uvedený výraz možno prečítať sú celé čísla a sa nerovná nula.
Číslo nad zlomkovou čiarou nazývame čitateľ, číslo pod zlomkovou čiarou nazývame menovateľ, čiara medzi čitateľom a menovateľom je zlomková čiara.
Krátenie zlomku
Ak čitateľa i menovateľa predelíme tým istým číslom rôznym od nuly, hodnota zlomku sa nezmení. Nazývame to krátenie zlomku. Napríklad:
Rozšírenie zlomku
Ak čítateľa i menovateľa vynásobíme tým istým číslom rôznym od nuly, hodnota zlomku sa nezmení. Nazývame to rozšírenie zlomku. Npríklad: \dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}= \dfrac{a\cdot d}{b \cdot d} +\dfrac{c\cdot b}{d\cdot b}=\dfrac{a \cdot d+c \cdot b}{b \cdot d}\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}= \dfrac{a\cdot d}{b \cdot d} -\dfrac{c\cdot b}{d\cdot b}=\dfrac{a \cdot d-c \cdot b}{b \cdot d}\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b \cdot d}\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}= \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}= \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 3}+ \dfrac{1\cdot 2}{3\cdot 2} =\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6}\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 3}- \dfrac{1\cdot 2}{3\cdot 2} =\dfrac{3-2}{6}=\dfrac{1}{6}\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3}=\dfrac{1}{6}\dfrac{1}{2}: \dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{1}=\dfrac{3}{2}=1,5 \dfrac{3}{2} \dfrac{2}{3}\cdot \left( \dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{7}\right)= \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2 \cdot 7+3\cdot 5 }{5\cdot 7 }= \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{29}{35}=\dfrac{58}{105}\dfrac{1}{3} alebo \dfrac{2}{7}\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{21}\hspace{15} \dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{21} \dfrac{1}{3}>\dfrac{2}{7}\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}\dfrac{1}{3}>\dfrac{2}{7}$
Poznámka: Výhodou prvého riešenia je, že vieme o koľko je 1/3 väčšia než 2/7, výhodou druhého je, že sme to vypočítali rýchlejšie.
Niekedy stačí, ak výsledok výpočtu zobrazíme na istý počet miest. Výsledok môžeme zaokrúhliť.
Pravidlá zaokrúhľovania:
Zaokrúhlenie nadol: Ak prvá číslica, ktorú máme zaokrúhliť je menšia ako 5, predchádzajúce číslice opíšeme a zaokrúhlenú číslicu a všetky číslice za ňou vynecháme.
Zaokrúhlenie nahor: Ak prvá číslica, ktorú máme zaokrúhliť je väčšia ako 4, k predchádzajúcej číslici pripočítame jednotku a zaokrúhlenú číslicu a číslice za ňou vynecháme.
Znakom zaokrúhlenia je znak rovná sa a nad ním krúžok alebo bodka:
Mlyn sa hrá na hracom pláne, aký je na obrázku vpravo.
Pravidlá:
Na začiatku hry je hrací plán prázdny, obaja hráči majú po 12 kameňov
Striedavo prikladajú na kruhy hracieho plánu kamene, ak hráč vytvorí trojicu vedľa seba ležiacich kameňov rovnakej farby (mlyn), súperovi vezme ľubovoľný kameň, ktorý nie je súčasťou mlynu
Keď boli položené všetky kamene, hráči môžu kamene posúvať po líniách o jedno políčko, ak je políčko voľné.
Ak má hráč iba tri kamene, môže kameňmi skákať na ľubovoľné voľné políčko