Riešenia (permutácie s opakovaním)

Úlohy

  1. Koľko permutácií s opakovaním možno vytvoriť z písmen slova OKOLO?
  2. V krabičke je 10 farbičiek: 4 červené, 3 modré, 2 žlté a jedna zelená. Koľkými spôsobmi ich môžeme usporiadať, ak farbičky rovnakej farby nevieme rozlíšiť?
  3. Osem študentov sa môže ubytovať v troch izbách, pričom dve sú trojposteľové a jedna dvojposteľové. Koľkými spôsobmi sa môžu študenti ubytovať?
  4. Šesťciferný kód na trezore sa skladá z rovnakých číslic ako číslo 926002 a zlodej to vie. Ako najdlhšie by zlodejovi trvalo, než by trezor otvoril, ak nastavenie jednej kombinácie číslic trvá 5 sekúnd?
  5. Koľko rôznych aj bezvýznamových slov možno zostaviť zo slova MATEMATIKA, ak sa použijú všetky písmená?

  1. O sa opakuje 3 krát, K a L raz. P'_{3,1,1}=\dfrac{5!}{3!\cdot 1! \cdot 1!}=5.4=20
    Zo slova OKOLO môžene vytvoriť 20 permutácií s opakovaním.
  2. P'_{4,3,2,1}(10)=\dfrac{10!}{4!\cdot \3! \cdot 2! \cdot 1!}=\dfrac{10.9.8.7.6.5}{6.2}=12600
    Farbičky môžeme usporiadať 12600 spôsobmi.
  3. Keďže nás nezaujíma, ktorý študent spí na ktorej posteli ale iba na ktorej izbe, na postele v rovnakej izbe sa môžeme dívať ako na rovnaké objekty. Potom počet permutácií s opakovaním je: P_{3,3,2}(8)=\dfrac{8!}{3!\cdot 3! \cdot 2!}=\dfrac{8\cdot 7 \cdot  6 \cdot  5 \cdot  4}{3! \cdot  2!}=8 \cdot  7 \cdot  5 \cdot  2=560
    Existuje 560 možností rozdelenia študentov do izieb.
  4. 9 a 6 sú raz, 2 a 0 dvakrát. Počet kombinácií s opakovaním je:
    P_{2,2,1,1}(6)=\dfrac{6!}{2! \cdot  2!}=\dfrac{6 \cdot  5 \cdot  4 \cdot  3}{2}=180
    t=5\,s.180=900\, s=15\,min
    Zlodejovi by trvalo najviac 15 minút, než by otvoril trezor.
  5. V slove MATEMATIKA sa 3x vyskytuje A, 2x M a T 1x E,I,K.
    P_{3,2,2,1,1,1}(10)=\dfrac{10!}{3! \cdot  2! \cdot  2! \cdot  }=10 \cdot  9 \cdot  7 \cdot  6 \cdot  5=151 200
    Slov, ktoré možno vytvoriť zo všetkých písmen slova matematika je 151200.
print

One Comment

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *