Tag Archives: kombinatorika

Pascalov trojuholník

23.1.2020MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Hoci sa Pascalov trojuholník nazýva podľa matematika Blaise Pascala, neobjavil ho on, ale poznali ho už v 13. storočí čínski matematici. Pascal však tento trojuholník a vzťahy ktoré v ňom platia preštudoval do hĺbky a tak bol pomenovaný po ňom.

Ako vytvoríme Pascalov trojuholník?

Do nultého riadku napíšeme 1, do prvého dve jednotky tak, že jednotka z predchádzajúceho riadku je v strede medzi nimi. Na začiatok a koniec každého ďalšieho riadku napíšeme jednotku a na ostatné pozície napíšeme súčet čísel, ktoré sú nad ním vľavo a vpravo. Tak ako ukazuje animovaný obrázok:

Možno dokázať, že jednotlivé čísla Pascalovho trojuholníka zodpovedajú kombinačným číslam.

$\sum$

${0 \choose 0}$

$2 ^ 0=1$

n=1

${1 \choose 0}$

${1 \choose 1}$

$2 ^ 1=2$

n=2

${2 \choose 0}$

${2 \choose 1}$

${2 \choose 2}$

$2 ^ 2=4$

n=3

${3 \choose 0}$

${3 \choose 1}$

${3 \choose 2}$

${3 \choose 3}$

$2 ^ 3=8$

n=4

${4 \choose 0}$

${4 \choose 1}$

${4 \choose 2}$

${4 \choose 3}$

${4 \choose 4}$

$2 ^ 4=16$

n=5

${5 \choose 0}$

${5 \choose 1}$

${5 \choose 2}$

${5 \choose 3}$

${5 \choose 4}$

${5 \choose 5}$

$2 ^ 5=32$

Vlastnosti Pascalovho trojuholníka

Pascalov trojuholník je osovo súmerný podľa osi prechádzajúcej horným vrcholom.
Súčet čísel v každom riadku zodpovedá n-tej mocnine čísla 2.
${n \choose k}= {n-1 \choose k-1}+ {n-1 \choose k}$ pre $n > 0$

Kombinácie

2.12.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Príklad 1: Trieda má 20 žiakov, koľkými spôsobmi z nich možno vytvoriť týždenníkov.
Riešenie: Prvého týždenníka môžeme vybrať z 20 možností a druhého z 19, ale u týždenníkov neurčujeme, ktorý z nich je prvý alebo druhý týždenník, takže ak ako prvého týždenníka zvolíme pôvodne druhého týždenníka a naopak, je to stále tá istá voľba, takže Súčin 20 krát 19 musíme predeliť dvoma. Celkový počet možností je teda 190.

Príklad 2: V hre loto sa žrebuje 6 čísel plus dodatkové číslo zo 49 čísel. Aká je pravdepodobnosť, že hráč vyhrá jackpot, ak podal jeden tip?

Než budeme riešiť druhý príklad, zadefinujeme, čo je to kombinácia.

Kombinácia k-tej triedy z n-prvkov bez opakovania je výber k prvkov z n-prvkovej množiny, pričom nezáleží na poradí prvkov a prvky sa neopakujú.

Continue reading →

Riešenia (permutácie s opakovaním)

29.11.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért One Comment

Úlohy

Koľko permutácií s opakovaním možno vytvoriť z písmen slova OKOLO?
V krabičke je 10 farbičiek: 4 červené, 3 modré, 2 žlté a jedna zelená. Koľkými spôsobmi ich môžeme usporiadať, ak farbičky rovnakej farby nevieme rozlíšiť?
Osem študentov sa môže ubytovať v troch izbách, pričom dve sú trojposteľové a jedna dvojposteľové. Koľkými spôsobmi sa môžu študenti ubytovať?
Šesťciferný kód na trezore sa skladá z rovnakých číslic ako číslo 926002 a zlodej to vie. Ako najdlhšie by zlodejovi trvalo, než by trezor otvoril, ak nastavenie jednej kombinácie číslic trvá 5 sekúnd?
Koľko rôznych aj bezvýznamových slov možno zostaviť zo slova MATEMATIKA, ak sa použijú všetky písmená?

Continue reading →

Permutácie

29.11.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Permutácia je usporiadanie všetkých prvkov množiny.

Permutácia je špeciálny prípad variácie. Je to variácia n-tej triedy z n prvkovej množiny. Ak sa prvky v množine neopakujú:

$P(n)=V_n(n)=\dfrac{n!}{(n-n)!}=\dfrac{n!}{0!}=\dfrac{n!}{1}=n!$

Počet permutácií n-prvkovej množiny bez opakovania teda je: $P(n)=n!$

Continue reading →

Variácie

25.11.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Príklad: Šachového turnaja sa zúčastnilo 8 hráčov. Koľko rôznych umiestnení mohlo byť na prvých troch miestach?

Riešenie: Na prvom mieste mohlo byť 8 hráčov, ak už na prvom mieste máme hráča, na druhom môže byť 7 hráčov a na treťom už len 6, lebo dvaja už sú na prvom a druhom. Počet možných umiestnení na prvých troch miestach je teda 8.7.6=336.

Príklad: Trieda má 20 žiakov. Žiaci si idú voliť triedny výbor: predsedu, podpredsedu a pokladníka. Koľko rôznych zostáv môže mať výbor triedy.

Riešenie: Za predsedu môže byť zvolených 20 žiakov, za podpredsedu už len 19, lebo predseda nemôže byť aj podpredsedom a za pokladníka 18, lebo pokladník nemôže byť zároveň predsedom alebo podpredsedom. Počet rôznych zostáv výboru je 20.19.18=6840.

Oba vyššie uvedené príklady boli príkladmi variácií bez opakovania, keď každý prvok sa vo výbere mohol vyskytnúť iba raz a záležalo na poradí prvkov.

Variácia k-tej triedy z n prvkovej množiny je výber k prvkov z n prvkov.

Ak sa prvky nemôžu opakovať, je to variácia bez opakovania.

Ak sa prvky opakovať môžu, je to variácia s opakovaním.

Continue reading →

Kombinatorika

25.11.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Kombinatorika je matematická disciplína, ktorá sa zaoberá kombinovaním rôznych súborov objektov. Napr. Koľko je možných rôznych poradí na prvých troch miestach, ak je súťažiacich 10? Aká je pravdepodobnosť jackpotu v lotte? Ako spravodlivo nasadiť družstvá v turnaji? Ako zostaviť rozvrh školy, aby vyhovoval daným kritériám?

Výsledky kombinatoriky sa využívajú napríklad pri výpočtoch pravdepodobnosti.

Príklad: Koľko existuje dvojciferných čísel, v ktorých sa číslice neopakujú?

Continue reading →

Podklady pre výuku matematiky, fyziky a informatiky

Nie je hanba nevedieť. Hanba je tváriť sa, že viem, hoci neviem.

Tag Archives: kombinatorika

Pascalov trojuholník

Kombinácie

Riešenia (permutácie s opakovaním)

Permutácie

Variácie

Kombinatorika