december 2019

Zákon sily

27.12.2019FyzikamechanikaTibor Menyhért Leave a comment

Zo skúsenosti vieme, že:

oveľa ľahšie roztlačíme vozík s malým dieťaťom než rovnaký vozík s ťažkým chlapom
ak sa rovnakou rýchlosťou pohybuje vozík s malým dieťaťom a s ťažkým chlapom, vozīk s dieťaťom zastavīme výrazne ľahšie

Pokus: K prázdnemu a naloženému vozíku priviažeme špagáty, tie vedieme cez kladky a na druhý koniec špagátov priviažeme rovnaké závažia. Prázdny vozík bude mať väčšie zrýchlenie než plný, pričom na oba vozíky pôsobila rovnaká sila.

Na základe podobných pokusov môžeme odvodiť zákon sily.

Zákon sily (2. Newtonov pohybový zákon): Zrýchlenie telesa v inerciálnej vzťažnej sústave je priamo úmernė sile, ktorá naň pôsobī a nepriamo úmerné hmotnosti telesa.

Continue reading →

Zákon zotrvačnosti

23.12.2019FyzikamechanikaTibor Menyhért Leave a comment

Každodenne sa stretåvame s takýmito a podobnými javmi:

ak cestujeme mestskou hromadnou dopravou a šofér prudko akceleruje, ak sa nedržíme, môžeme spadnúť, zdá sa nám, akoby na nás pôsobila sila, pôsobiaca v opačnom smere, než je smer pohybu vozidla
ak vodič prudko zabrzdí, naopak nás nejaká sila „hodí“ dopredu
ak vodič prechádza rýchlo zákrutou, nejaká sila nás tlačí nabok
keď sa v pračke začne bubon otáčať vo vysokých obrátkach, prádlo sa vyžmýka

Všetký tieto javy sú dôsledkom zákona zotrvačnosti.

Zákon zotrvačnosti (1. Newtonov pohybový zákon): Teleso v inerciálnej sústave zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, ak výslednica síl naň pôsobiacich je nulová.

Continue reading →

Newtonove pohybové zákony

23.12.2019FyzikaTibor Menyhért Leave a comment

Newtonove pohybové zákony alebo Newtonove zákony pohybu alebo Newtonove princípy sú základné zákony mechaniky, ktoré zverejnil Isaac Newton v diele Philosophiae naturalis principia mathematica v r. 1687. Tvoria axiomatický základ Newtonovej mechaniky.

Sú to tieto tri zákony:

Zobraziť článok

Newtonov pohybový zákon (zákon zotrvačnosti): Teleso v inerciálnej sústave zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, ak výslednica síl, ktoré naň pôsobia je nulová.
Newtonov pohybový zákon (zákon sily): Zmena hybnosti telesa za jednotku času je priamo úmerná veľkosti pôsobiacej sily.
Newtonov pohybový zákon (zákon akcie a reakcie): Ak jedno teleso pôsobí na druhé teleso nejakou silou, druhé teleso pôsobí na prvé teleso rovnako veľkou silou opačného smeru.

Newtonove pohybové zákony umožňujú určiť, aký bude pohyb telesa v inerciálnej vzťažnej sústave, ak sú známe všetky sily, ktoré naň pôsobia.

Podrobnejšie v jednotlivých článkoch o pohybových zákonoch.

Zdroje:

Štatistické charakteristiky

18.12.2019MatematikaštatistikaTibor Menyhért One Comment

Štatistické charakteristiky sú hodnoty, ktoré charakterizujú štatistický súbor ako celok. Medzi štatistické charakteristiky patria:

aritmetický priemer
geometrický priemer
kvadratický priemer
harmonický priemer
medián
modus
smerodajná odchýlka
rozptyl
korelácia

Continue reading →

Štatistika

18.12.2019MatematikaštatistikaTibor Menyhért Leave a comment

Štatistika alebo matematická štatistika je odbor matematiky, ktorý skúma štatistické súbory – súbory štatistických jednotiek. Zosumarizujú sa znaky jednotlivých jednotiek a potom sa vyhodnotia charakteristické znaky celého štatistického súboru.

Štatistika úzko súvisí s pravdepodobnosťou. Niekedy môžeme preskúmať iba časť celku, vyhodnotením štatistických charakteristík tejto časti vieme s istou spoľahlivosťou určiť charakteristiky celého súboru.

Základné pojmy štatistiky

Štatistický súbor je súbor štatistických jednotiek s nejakou spoločnou vlastnosťou.

Štatistická jednotka je prvok štatistického súboru, jednotlivý objekt štatistického skúmania: osoba pri sčítaní obyvateľstva; častica pri skúmaní vlastností plynov, kvapalín; domácnosť pri výskume vybavenosti domácností…

Rozsah štatistického súboru je počet štatistických jednotiek v štatistickom súbore, $n\in N$ .

Continue reading →

Kvadratická rovnica

9.12.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Kvadratická rovnica je rovnica, ktorú možno previesť na tvar:

$a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$ kde $a,b,c \in R \, \wedge\, a\neq 0$

$a x^2$ – kvadratický člen
$b x$ – lineárny člen
$c$ – absolútny člen

Continue reading →

Kvantifikátory

6.12.2019MatematikalogikaTibor Menyhért Leave a comment

Niektoré výroky obsahujú slová každý, všetci, existuje, …

Každý a všetci neznamená to isté. Výroky:

Každý žiak triedy dostal z písomky jednotku.

Všetci žiaci triedy dostali z písomky jednotku.

sú ekvivalentné, ale napríklad výroky

Každý človek sa zmestí do tejto skrine.

Všetci ľudia sa zmestia do tejto skrine.

ekvivalentné nie sú. Z uvedeného vidno, že hovorová reč často nie je presná, máme v druhom výroku na mysli všetci súčasne alebo osobitne ako v prvom výroku?

Poznámka: Jeden zo žiakov uviedol iný príklad, kedy slovo každý nemožno nahradiť slovom všetci: Každý druhý.

Všeobecný kvantifikátor: Slovo každý(-á,-é) v matematike vyjadrujeme symbolom $\forall$ . Tento symbol nazývame všeobecný kvantifikátor.

Existenčný kvantifikátor: Slovo existuje v matematike vyjadrujem symbolom $\exists$ . Tento symbol nazývame existenčný kvantifikátor.

Continue reading →

Riešenia (lineárne rovnice)

5.12.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Vyriešte rovnice a vykonajte skúšku správnosti

a) $10x-1=15-6x / +6x+1$
$16x=16 / : 16$
$\underline{x=1}$

Skúška: $L: 10\cdot 1-1=9 \hspace{30} P: 15-6\cdot 1=9\hspace{30} \underline{L=P}$

b) $9x-8=11x-10 /-9x+10$
$2=2x / 2$
$\underline{x=1}$

Skúška: $L: 9\cdot 1-8=1 \hspace{30} P: 11 \cdot 1-10=1 \hspace{30} \underline{L=P}$

c) $1\dfrac{1}{2}z-2=3\dfrac{1}{4}z-9 / +1\dfrac{1}{2}z+9$

$7=(3\dfrac{1}{4}+1\dfrac{1}{2})z$

$7=4\dfrac{3}{4}z / :\dfrac{19}{4}$

$z=\dfrac{28}{19}$

Lineárna rovnica

4.12.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Lineárna rovnica je každá rovnica, ktorú môžeme „korektnými“ úpravami previesť na tvar: $a\cdot x+b=0$
kde $a,b \in R, \, a\neq 0$ .

„Korektné“ úpravy sú také úpravy, ktoré nezmenia riešenie rovnice. Úpravy ktoré nemenia riešenie rovnice nazývame ekvivalentné úpravy.

ekvivalentný – majúci rovnakú cenu, hodnotu, rovnocenná náhrada

Continue reading →

Graf funkcie

4.12.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Aký má funkcia priebeh najlepšie uvidíme, ak nakreslíme jej graf.

Najprv nakreslíme súradnicové osy x a y a zvolíme veľkosť jednotkovej úsečky. Obvykle volíme rovnaké jednotkové úsečky pre os x aj y, ale ak funkcia prudko rastie alebo klesá, či naopak, y hodnoty budú v absolútnej hodnote výrazne menšie než hodnoty x môžeme zvoliť rôzne jednotkové úsečky.

Potom si vytvoríme tabuľku, do ktorej zapíšeme hodnoty x do prvého riadku a hodnoty y do druhého riadku. Ak by sme mali napríklad funkciu f(x)=x 2, mohla by tabuľka vyzerať takto:

x	-4	-3	-2	-1	-0,5	0	0,5	1	2	3	4
y	16	9	4	1	0,25	0	0,25	1	4	9	16

Vedieme kolmice na os x v bodoch z prvého riadku a kolmice na os y v bodoch druhého riadku, kde sa tieto kolmice pretnú, označíme bod krúžkom. Keď sme vyznačili všetky body z tabuľky, prepojíme ich krivkou.

Kombinácie

2.12.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Príklad 1: Trieda má 20 žiakov, koľkými spôsobmi z nich možno vytvoriť týždenníkov.
Riešenie: Prvého týždenníka môžeme vybrať z 20 možností a druhého z 19, ale u týždenníkov neurčujeme, ktorý z nich je prvý alebo druhý týždenník, takže ak ako prvého týždenníka zvolíme pôvodne druhého týždenníka a naopak, je to stále tá istá voľba, takže Súčin 20 krát 19 musíme predeliť dvoma. Celkový počet možností je teda 190.

Príklad 2: V hre loto sa žrebuje 6 čísel plus dodatkové číslo zo 49 čísel. Aká je pravdepodobnosť, že hráč vyhrá jackpot, ak podal jeden tip?

Než budeme riešiť druhý príklad, zadefinujeme, čo je to kombinácia.

Kombinácia k-tej triedy z n-prvkov bez opakovania je výber k prvkov z n-prvkovej množiny, pričom nezáleží na poradí prvkov a prvky sa neopakujú.

Continue reading →

Podklady pre výuku matematiky, fyziky a informatiky

Nie je hanba nevedieť. Hanba je tváriť sa, že viem, hoci neviem.

december 2019

Zákon sily

Zákon zotrvačnosti

Newtonove pohybové zákony

Štatistické charakteristiky

Štatistika

Kvadratická rovnica

Kvantifikátory

Riešenia (lineárne rovnice)

Lineárna rovnica

Graf funkcie

Kombinácie