apríl 2020

Exponenciálne rovnice

Matematika Leave a comment

Video s touto témou

Exponenciálna funkcia so základom väčším ako 1 je rastúca a so základom menším ako 1 a väčším ako 0 je klesajúca. To znamená:

Ak\, a^x=a^y, \, potom\, x=y. (1)

alebo

Ak\, a^x\ne a^y, \, potom\, x\ne y. (2)

Túto vlastnosť využijeme pri riešení exponenciálnych rovníc.

Príklad 1: Vyriešte rovnicu \dfrac{1}{5^{2x-4}}=125

Pravú stranu upravíme na mocninu 5: 125=5^3

Pre ľavú stranu využijeme vzťah a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}.

Dostaneme: 5^{4-2x}=5^3

Teraz využijeme vzťah (1). Riešenie exponenciálnej rovnice sa zmení na riešenie lineárnej rovnice:

4-2x=3ň, /-3

1-2x=0\, /+2x

1=2x\, / :2

x=0,5

Skúška:

L: \dfrac{1}{5^{4-2x}}=\dfrac{1}{5^{4-2\cdot 0,5}}=\dfrac{1}{5^{-3}}=5^3=125

\underline{ L=P}

Skúška správnosti vyšla. Riešením rovnice je x=0,5.

Zhrnutie riešenia: Ak na ľavej aj pravej strane máme mocniny s rovnakým základom, riešime rovnicu, v ktorej sa majú rovnať exponenty. Ak nemáme rovnaký základ, nájdeme spoločný základ mocniny. V tomto príklade spoločným základom bolo číslo 5.

Príklad 2: Vyriešte 4^{x-2}=0,125

Ako vyjadriť 0,125, ako mocninu nejakého čísla? Čo je spoločným základom? Môže to byť 4? 4^{-1}=\dfrac{1}{4}=0,25

4^{-2}=\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{16}=0,0625

Zistili sme, že 4 to nie je. Číslo 4 je mocninou dvojky. 2^{-3}=\dfrac{1}{8}=0,125

Pôvodnú rovnicu upravíme do tvaru:

2^{2^{x-2}}=2^{-3}

Použijeme vzťah a^n^m=a^{n\cdot m} a dostaneme:

2^{2\cdot(x-2)=2^{-3}

Teraz stačí vyriešiť lineárnu rovnicu, v ktorej sa exponenty majú rovnať.

2\cdot{x-2}=-3

2x-4=-3 // +4

2x=1 // :2

x=0,5

Úlohy na riešenie:

  1. Tu pribudne niekoľko úloh