Matematika

Kritéria deliteľnosti

Matematika Leave a comment

Deliteľnosť 2

Číslo je deliteľné 2, ak na mieste jednotiek je párna číslica: 0, 2, 4, 6, 8

Deliteľnosť 3

Číslo je deliteľné 3, ak jeho ciferný súčet (súčet jeho číslic) je deliteľný 3.

Príklad: 123 – 1+2+3=6, 6 je deliteľné 3, číslo 123 je deliteľné 3.

Deliteľnosť 4

Číslo je deliteľné 4, ak posledné dvojčíslie je deliteľné 4.

Deliteľnosť 5

Číslo je deliteľné 5, ak posledná číslica je 0 alebo 5.

Continue reading →

Prvočísla a zložené čísla

Matematika Leave a comment

Dôkazy sú rozširujúcim a prehlbujúcim učivom, pre žiakov, ktorý sa hlbšie zaujímajú o matematiku. Nebudú predmetom skúšania.

Číslo p je deliteľom čísla n, ak číslo n možno zapísať, ako súčin čísla p a nejakého čísla q: n=p \cdot q

Aj číslo q je deliteľom čísla n, ak je q>0.

Možno to vyjadriť aj inak:

Číslo p je deliteľom čísla n , ak ho delí bezo zvyšku.

Rozpíšme všetky možné vyjadrenia čísel od 1 do 20, ako súčinu dvoch čísel:

\textcolor{blue}{1=1 \cdot 1}\textcolor{green}{11=1 \cdot 11}
\textcolor{green}{2=1 \cdot 2}12=1 \cdot 12=2 \cdot 6
\textcolor{green}{3=1 \cdot 3}\textcolor{green}{13=1 \cdot 13}
4=1 \cdot 4=2 \cdot 214=1 \cdot 14=2 \cdot 7
\textcolor{green}{5=1 \cdot 5}15=1 \cdot 15=3 \cdot5
6=1 \cdot 6=2 \cdot 316=1 \cdot 16=2 \cdot 8=4 \cdot 4
\textcolor{green}{7=1 \cdot 7}\textcolor{green}{17=1 \cdot 17}
8= 1\cdot 8=2 \cdot 418=1 \cdot 18=2 \cdot 9=3 \cdot 6
9=1 \cdot 9=3 \cdot 3\textcolor{green}{19=1 \cdot 19}
10=1 \cdot 10=2 \cdot 520=1 \cdot 20=2 \cdot 10=4 \cdot 5

Zelenou farbou som označil čísla, ktoré majú iba dva delitele. Čiernou farbou sú napísané čísla, ktoré majú viac než dva delitele. Modrou farbou som označil číslo 1, ktoré má len jedného deliteľa.

Prvočíslo je číslo, ktoré má dva delitele jednotku a samé seba.

Zložené číslo je číslo, ktoré má viac než dva delitele.

Veta: Číslo dva je jediné párne prvočíslo.

Dôkaz: Ak by číslo n bolo párne číslo väčšie ako dva, tak by malo delitele 1 a samé seba a navyše aj číslo 2.

Veta: Každé zložené číslo možno vyjadriť ako súčin prvočísel.

Dôkaz: Ak je n zložené číslo, možno ho vyjadriť ako súčin dvoch čísel väčších ako 1. n=p \cdot q. Tieto čísla sú buď prvočísla, alebo sú to znova zložené čísla. Ak sú to zložené čísla, možno ich vyjadriť ako p=p_1 \cdot p_2 a q=q_1 \cdot q_2. Tieto nové činitele sú aspoň dvakrát menšie, než pôvodné. Po konečnom počte krokov, dospejeme k číslu 2, ktoré je prvočíslom, alebo to už neboli zložené čísla.

Využitie prvočísel

  • V súčasnosti sa prvočísla využívajú hlavne v kryptografii. Kryptografia je veda o šifrovaní a dešifrovaní. Ak máme zložené číslo, ktoré je súčinom dvoch veľmi veľkých prvočísel, dá sa správa zakódovať verejným kľúčom, ale dekódovať sa dá len súkromným kľúčom. Aj veľmi výkonné počítače pri dostatočnej veľkosti prvočísel by pracovali desiatky či stovky rokov, kým by odhalili súkromný kľúč.
  • V informatike sa prvočísla používajú v hashovacích tabuľkách. Je to také ukladanie informácií, aby sme veľmi rýchlo našli informácie v databáze.
  • V matematike možno pomocou prvočísel hľadať dokonalé čísla.
    Dokonalé číslo je číslo, ktorého súčet vlastných deliteľov je rovný dokonalému číslu. Napríklad:
    6 má vlastné delitele 1,2,3 a 6=1+2+3
    28=1,2,4,7,14 a 28=1+2+4+7+14
    Vlastný deliteľ je taký deliteľ, ktorý je menší než číslo ktoré delíme.
    Starí Gréci prikladali dokonalým číslam magické vlastnosti.

Ovládanie korytnačky cez príkazový riadok

Matematika Leave a comment

Po kliknutí na ikonu zelenej korytnačky sa spustí prostredie Imagine.

Hore sa zobrazí menu: Súbor Úpravy Ukázať Nastavenia Stránka Pomocník

Pod menu sú rôzne tlačítka. Ďalej nasleduje pracovná plocha, po ktorej sa pohybuje korytnačka (korytnačky).

Potom je pás, v ktorom je zoznam príkazov, ktoré sme korytnačke zadali a celkom dole je príkazový riadok, do ktorého zadávame príkazy korytnačke.

V tomto článku nájdete zoznam príkazov jazyka Imagine.

Continue reading →

Sústava troch a viac lineárnych rovníc

Matematika Leave a comment

Ak máme tri neznáme a všeobecne n neznámych, aby bolo riešenie jednoznačné, potrebujeme aspoň tri rovnice a všeobecne n rovníc. Ak máme tri neznáme, v matematike ich obvykle označíme písmenami x, y, z. Ak je neznámych viac, označujeme ich pomocou dolného indexu x_1, x_2, ...\, x_n. Sústavu troch lineárnych rovníc riešime podobne, ako sústavu dvoch lineárnych rovníc substitučnou metódou.

Continue reading →

Sústava dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych

Matematika Leave a comment

Kedysi ste sa naučili riešiť lineárnu rovnicu s jednou neznámou. V živote či vo vede sa stretávame aj so zložitejšími problémami, keď neznáme môžu byť dve a viac. V tomto článku si ukážeme, ako možno riešiť sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prvú neznámu obvykle označíme x, druhú y, ale inak na označení nezáleží (vo fyzike ich napríklad označíme značkami fyzikálnych veličín).

Continue reading →

Exponenciálne rovnice

Matematika Leave a comment

Video s touto témou

Exponenciálna funkcia so základom väčším ako 1 je rastúca a so základom menším ako 1 a väčším ako 0 je klesajúca. To znamená:

Ak\, a^x=a^y, \, potom\, x=y. (1)

alebo

Ak\, a^x\ne a^y, \, potom\, x\ne y. (2)

Túto vlastnosť využijeme pri riešení exponenciálnych rovníc.

Príklad 1: Vyriešte rovnicu \dfrac{1}{5^{2x-4}}=125

Pravú stranu upravíme na mocninu 5: 125=5^3

Pre ľavú stranu využijeme vzťah a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}.

Dostaneme: 5^{4-2x}=5^3

Teraz využijeme vzťah (1). Riešenie exponenciálnej rovnice sa zmení na riešenie lineárnej rovnice:

4-2x=3ň, /-3

1-2x=0\, /+2x

1=2x\, / :2

x=0,5

Skúška:

L: \dfrac{1}{5^{4-2x}}=\dfrac{1}{5^{4-2\cdot 0,5}}=\dfrac{1}{5^{-3}}=5^3=125

\underline{ L=P}

Skúška správnosti vyšla. Riešením rovnice je x=0,5.

Zhrnutie riešenia: Ak na ľavej aj pravej strane máme mocniny s rovnakým základom, riešime rovnicu, v ktorej sa majú rovnať exponenty. Ak nemáme rovnaký základ, nájdeme spoločný základ mocniny. V tomto príklade spoločným základom bolo číslo 5.

Príklad 2: Vyriešte 4^{x-2}=0,125

Ako vyjadriť 0,125, ako mocninu nejakého čísla? Čo je spoločným základom? Môže to byť 4? 4^{-1}=\dfrac{1}{4}=0,25

4^{-2}=\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{16}=0,0625

Zistili sme, že 4 to nie je. Číslo 4 je mocninou dvojky. 2^{-3}=\dfrac{1}{8}=0,125

Pôvodnú rovnicu upravíme do tvaru:

2^{2^{x-2}}=2^{-3}

Použijeme vzťah a^n^m=a^{n\cdot m} a dostaneme:

2^{2\cdot(x-2)=2^{-3}

Teraz stačí vyriešiť lineárnu rovnicu, v ktorej sa exponenty majú rovnať.

2\cdot{x-2}=-3

2x-4=-3 // +4

2x=1 // :2

x=0,5

Úlohy na riešenie:

  1. Tu pribudne niekoľko úloh

Nepriama úmernosť

Matematika Leave a comment

Jeden robotník vykope 20 metrový kanál za 8 hodín. Za koľko hodín ho vykopú dvaja robotníci, ak sú rovnako výkonní?

Dvaja robotníci kanál vykopú dvakrát rýchlejšie, takže ho vykopú za 4 hodiny.

Auto išlo priemernou rýchlosťou 60 km za hodinu, z obce Pršany do obce Dažďany došlo za 1 hodinu. Na bicykli cyklista dosahuje na tej istej trati rýchlosť 20 km za hodinu, ako dlho mu cesta potrvá?

Cyklista ide trikrát pomalšie, cesta mu bude trvať trikrát tak dlho. Trasu prejde za tri hodiny.

Oba vyššie uvedené príklady boli príklady nepriamej úmernosti.

Nepriama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak vzťah medzi nimi možno vyjadriť vzorcom: y=\dfrac{k}{x}, kde k je konštanta úmernosti a k>0, \, k \in R

Continue reading →

Priama úmernosť

Matematika Leave a comment

Keď nakupujem rožky v obchode a jeden rožok stojí 8 centov, výsledná cena, ktorú zaplatím sa dá vyjadriť vzťahom: c=8 \cdot r, kde c je cena a r je počet rožkov.

Rožky012345678910
Cena
v centoch		08162432404856647280

Ak idem na bicykli konštantnou rýchlosťou 16 km za hodinu, dráha ktorú prejdem za nejaký čas sa dá vyjadriť vzťahom s=16 \cdot t, kde s je dráha, a t je čas.

Čas0 min15 min30 min1 hod2 hod3 hod
Dráha 0 km4 km8 km16 km32 km48 km

Poznámka: 15 minút je štvrť hodiny.

Hore uvedené vzťahy boli príklady priamej úmernosti.

Priama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak hodnotu závislej premennej od nezávislej premennej možno vyjadriť vzorcom v tvare: y=k \cdot x, kde k>0, \, k \in R. Konštanta priamej úmernosti k, je kladné reálne číslo.

Continue reading →

Základné pojmy pravdepodobnosti

Matematika Leave a comment

Majme stanovený systém podmienok (napr. máme pravidelnú hraciu kocku, ktorej steny sú označené číslami 1, 2, . . . , 6). Proces (dej), ktorý môže nastať pri realizácii týchto podmienok (napr. hod hracou kockou) nazývame pokus. Vyžadujeme, aby každý pokus mal vlastnosť hromadnosti, t. j. aby sme ho mohli teoreticky ľubovoľne krát opakovať. Výsledok tohto procesu nie je jednoznačný, je náhodný, nazývame ho náhodným javom alebo náhodnou udalosťou (napr. padnutie šestky). Náhodný jav je výsledok pokusu. Množinu všetkých navzájom sa vylučujúcich výsledkov pokusu označujme gréckym písmenom \Omega. Jej prvky nazývame elementárne udalosti a označujeme ich písmenom e_i , t.j. \Omega = \{e_1, e_2, ... e_n\}. Podmnožiny množiny všetkých možných výsledkov pokusu nazývame náhodnými udalosťami.

Continue reading →

Náhoda a pravdepodobnosť

Matematika Leave a comment

Niektoré javy sú také, že vieme dopredu s absolútnou istotou povedať, čo sa stane za daných okolností:

  • ak zdvihneme teleso a pustíme ho, vieme že spadne na zem
  • ak priblížime k sebe dva magnety, začnú sa priťahovať alebo odpudzovať, podľa toho, ktoré póly magnetov sú bližšie k sebe
  • ak voda dosiahne 100 stupňov celzia pri normálnom tlaku, začne vrieť
  • ak teplota klesne pod 0 stupňov celzia pri normálnom tlaku, zmrzne

Iné javy sú také, že nevieme s istotou povedať čo nastane, ale vieme že nastane niektorá z možností:

  • hodíme kocku, padne jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale dopredu nevieme, ktoré z nich to bude
  • hodíme mincu, padne rub alebo líc
  • meteorológovia namerajú údaje v atmosfére a síce predpovedia, aké bude počasie, ale čas od času im predpoveď nevyjde
  • voda síce pri 100 stupňoch celzia začne vrieť, ale nevieme dopredu povedať, či konkrétna molekula vody bude ešte v hrnci o 5 sekúnd

Prvú triedu nazývame deterministické javy. Druhú triedu javov nazývame náhodné javy.

Continue reading →

Precenenie tovaru

Matematika Leave a comment

V praxi neraz budete tovar preceňovať. Buď ho o nejaké percentá zdražíte alebo zlacníte, alebo zmenu vypočítate pripočítaním alebo odpočítaním nejakej čiastky a spätne budete potrebovať zistiť o koľko percent ste cenu zvýšili alebo znížili.

Zlacnenie: Ak tovar chceme zlacniť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca: c_n=(1-p/100)\cdot c_p kde c_n je nová cena a c_p je pôvodná cena.

Príklad: Tovar stoji 70 euro, zlacníme ho 20%. Aká bude nová cena?
c_n=(1-20/100)\cdot 70=0,8\cdot 70=56
Nová cena bude 56 euro.

Zdraženie: Ak tovar chceme zdražiť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca c_n=(1+p/100)\cdot c_p kde c_n je nová cena a c_p je pôvodná cena.

Continue reading →

Goniometrické funkcie

Matematika Leave a comment

Ešte na základnej škole ste sa učili o podobnosti trojuholníkov.

Dva trojuholníky \Delta ABC, \, \Delta A'B'C' sú podobné ak platí: \dfrac{a' } {a}= \dfrac{b' } {b}= \dfrac{c' } {c}=k

Konštantu k nazývame koeficient podobnosti. Ak je k väčšie ako 1, trojuholník sme zväčšili, ak je menšie ako 1 zmenšili a ak je rovný 1, trojuholníky sú zhodné.

Učili ste sa tiež vetu UU.

Veta UU: Ak sú v dvoch trojuholníkoch dva uhly zhodné, potom sú trojuholníky podobné.

Zároveň vieme, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180 ^ \circ.

Z uvedených znalostí možno odvodiť, že ak máme dva pravouhlé trojuholníky a jeden z ostrých uhlov jedného trojuholníka je zhodný s ostrým uhlom v druhom trojuholníku, potom sú trojuholníky podobné, pretože majú dva zhodné uhly.

Z toho vyplýva, že pomer strán pravouhlých trojuholníkov s rovnakými uhlami je rovnaký a môžeme zaviesť funkcie uhlov, ktoré budú odvodené z pomerov strán pravouhlého trojuholníka:

a':b':c'=k.a:k.b.k.c=a:b:c

Continue reading →

Radián

Matematika Leave a comment

Na základnej škole ste veľkosť uhla merali v stupňoch, kde celý kruh mal 360 stupňov, pravý uhol mal 90 stupňov, rovnostranný trojuholník mal 60 stupňové uhly, …

Rozdelenie kruhu na 360 stupňov zaviedli už Babylončania. Vo fyzike sa ukázalo užitočné merať uhly v radiánoch.

Radián je uhol, ktorý s vrcholom v strede kružnice vytne na kružnici oblúk s dĺžkou rovnou dĺžke polomeru. Značka rad.

Obvod kruhu počítame podľa vzorca: o=2\pi r, potom 360 stupňom zodpovedá 2\pi\, rad

1 \, rad= \dfrac{360}{2 \pi}\doteq 57,3^\circ

StupneRadiány
0 0
30 \dfrac{ \pi }{6}
45 \dfrac{ \pi }{4}
60 \dfrac{ \pi }{3}
90 \dfrac{ \pi }{2}
120 \dfrac{ 2\pi }{3}
180 \pi
270 \dfrac{ 3\pi }{2}
360 2 \pi

Riešenia percentá

Matematika Leave a comment
  1. Koľko percent je 30 zo 120?
    • p=\dfrac{c}{z}\cdot 100=30\cdot 100:120=25\%
  2. Koľko percent je 25 z 80?
    • p=25\cdot 100:80=31,25\%
  3. Koľko percent je 15 zo 40?
    • p=37,5\%
  4. Koľko percent je 8 z 24?
    • p=33,33\%
  5. Ak je základ 400, koľko je 25%?
    • z=400, p=25, c =?
    • p=\dfrac{c}{z}\cdot 100
    • 25=\dfrac{c}{400}\cdot 100
    • 25 \cdot 400 :100=c
    • c=100
    • 25 % zo 400 je 100
  6. Ak je základ 280, koľko je 30%?
    • 100% ….. 280
    • 1% ………..2,8
    • 30% ………30 x 2,8= 84
    • 30% z 280 je 84
  7. Ak je základ 90, koľko je 47%?
    • 100% ………. 90
    • 1% …………… 0,9
    • 47% …………47 x 0,9=42,3
    • 47% z 90 je 42,3
  8. Ak je základ 333, koľko je 50%?
    • 50% je polovica, 333:2=166,5
    • 50% z 333 je 166,5
  9. Ak je 10% 7, koľko je základ?
    • p=\dfrac{c}{z}\cdot 100
    • z= \dfrac{c}{p}\cdot 100
    • z= \dfrac{7}{10}\cdot 100=70
    • Ak je 10% 7, potom je základ 70 .
  10. Ak je 33% 99, koľko je základ?
    • 33% ………. 99
    • 1 % ……….. 99:33=3
    • 100% ……..3.100=300
    • Ak je 33% 99, základ je 300.
  11. Ak je 75% 90, koľko je základ?
    • 75% …… 90
    • 1% ……… 90:75=1,2
    • 100% ….. 1,2 x 100=120
    • Ak je 75% 90, základ je 120.
  12. Ak je 13% 26, koľko je základ?
    • 13% ……… 26
    • 1% ……….. 26:13=2
    • 100% ……. 2 x 100=200
    • Ak je 13% 26, základ je 200.
  13. Po zlacnení o 20% televízor stoji 400 euro. Koľko stál pred zlacnením?
    • Ak televízor zlacnel o 20%, jeho aktuálna cena je 80% pôvodnej ceny.
    • 80%……400
    • 1% ……..400:80=5
    • 100%…..5 x 100=500
    • Televízor pred zlacnením stál 500 euro.
  14. Po zlacnení o 25% stojí práčka 300 euro. Koľko stála pred zlacnením?
    • 100-25=75. Aktuálna cena je 75% pôvodnej ceny.
    • 75%…….300
    • 1%……….300:75=4
    • 100%…..4.100=400
  15. Po zdražení o 10% stojí auto 7700 euro. Koľko stálo pôvodne?
    • 100+10=110. Nová cena je 110% p;vodnej ceny.
    • 110%……7700
    • 1%………..7700:110=70
    • 100%……70.100=7000
  16. Pred zdražením stál lístok MHD 60 centov, po zdražení stojí 90 centov. Koľko percentné zdraženie to bolo?
    • 100%…….60
    • 1%………..60:100=0,6
    • zdraženie je 90-60=30
    • 30:0,6=50
    • Zdraženie lístkov bolo 50%.
  17. Mesačník na MHD stál 20 euro, po zdražení stojí 25 euro. Koľko percentné zdraženie to bolo?
    • 100%…………20
    • 1%…………….0,20
    • zdraženie 25-20=5
    • 5:0,2=25
    • Zdraženie mesačníkov bolo 25%.
  18. Pred zdražením som jazdil mesačne priemerne 25 krát s MHD, teraz jazdím o 40% menej často. O koľko odo mňa získa na tržbách dopravný podnik viac alebo menej za celý rok oproti minulosti?
    • Rok má 12 mesiacov, pôvodne som minul 12.25.0,6=180 euro
    • 25.0,6=15 jázd mesačne po zdražení
    • ročne 12.15.0,9=162 euro
    • 180-162=18
    • Dopravný podnik odo mňa získa ročne o 18 euro menej ako pred zdražením.

Percentá

Matematika Leave a comment

Neraz sa stáva, že potrebujeme porovnať dva či viac objektov rovnakého druhu z hľadiska ich štruktúry, pričom objekty nie sú rovnako veľké. Majme dve školy, na jednu chodí 400 žiakov z toho 100 dievčat, na druhú 600 žiakov z toho 120 dievčat. Hoci na druhú školu chodí v absolútnej hodnote dievčat viac, relatívne ich tam chodí menej. Relatívny počet dievčat na oboch školách možno vyjadriť zlomkami:

d_{1}= \dfrac{100}{400}= \dfrac{1}{4} a d_{2}= \dfrac{120}{600}= \dfrac{1}{5}

Keď porovnávame relatívne počty, stalo sa zvykom, že relatívny počet prevedieme na zlomok s menovateľom 100 a aby sme nemuseli písať zlomok píšeme znak %.

Hore uvedené zlomky potom prejdú do tvaru d_{1} = \dfrac{25}{100}= 25\% a d_{2}= \dfrac{20}{100}= 20\%.

Znak % čítame ako percento, názov pochádza z latinského per cento znamenajúce na sto podobne ako jeden cent je stotina eura.

Continue reading →

Pascalov trojuholník

Matematika Leave a comment
Blaise Pascal

Hoci sa Pascalov trojuholník nazýva podľa matematika Blaise Pascala, neobjavil ho on, ale poznali ho už v 13. storočí čínski matematici. Pascal však tento trojuholník a vzťahy ktoré v ňom platia preštudoval do hĺbky a tak bol pomenovaný po ňom.

Ako vytvoríme Pascalov trojuholník?

Do nultého riadku napíšeme 1, do prvého dve jednotky tak, že jednotka z predchádzajúceho riadku je v strede medzi nimi. Na začiatok a koniec každého ďalšieho riadku napíšeme jednotku a na ostatné pozície napíšeme súčet čísel, ktoré sú nad ním vľavo a vpravo. Tak ako ukazuje animovaný obrázok:

Možno dokázať, že jednotlivé čísla Pascalovho trojuholníka zodpovedajú kombinačným číslam.

n \sum
0 {0 \choose 0} 2 ^ 0=1
n=1 {1 \choose 0} {1 \choose 1} 2 ^ 1=2
n=2 {2 \choose 0} {2 \choose 1} {2 \choose 2} 2 ^ 2=4
n=3 {3 \choose 0} {3 \choose 1} {3 \choose 2} {3 \choose 3} 2 ^ 3=8
n=4 {4 \choose 0} {4 \choose 1} {4 \choose 2} {4 \choose 3} {4 \choose 4} 2 ^ 4=16
n=5 {5 \choose 0} {5 \choose 1} {5 \choose 2} {5 \choose 3} {5 \choose 4} {5 \choose 5} 2 ^ 5=32

Vlastnosti Pascalovho trojuholníka

  • Pascalov trojuholník je osovo súmerný podľa osi prechádzajúcej horným vrcholom.
  • Súčet čísel v každom riadku zodpovedá n-tej mocnine čísla 2.
  • {n \choose k}= {n-1 \choose k-1}+ {n-1 \choose k} pre n > 0

Kombinačné čísla

Matematika Leave a comment

Počet kombinácií bez opakovania sme vyjadrili vzorcom:

K(n)= \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}

Kombinačné číslo zapisujeme ako {n \choose k} , čítame ako n nad k a jeho hodnotu vypočítame rovnako ako počet kombinácií bez opakovania: {n \choose k}= \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}

Kombinačné čísla sa vyskytujú nielen v kombinatorike, ale aj pri iných matematických úlohách. Napríklad koeficienty pri rozpísaní mocniny (a+b)^n usporiadané zostupne podľa exponentov pri a.

Štatistika

Matematika Leave a comment

Štatistika alebo matematická štatistika je odbor matematiky, ktorý skúma štatistické súbory – súbory štatistických jednotiek. Zosumarizujú sa znaky jednotlivých jednotiek a potom sa vyhodnotia charakteristické znaky celého štatistického súboru.

Štatistika úzko súvisí s pravdepodobnosťou. Niekedy môžeme preskúmať iba časť celku, vyhodnotením štatistických charakteristík tejto časti vieme s istou spoľahlivosťou určiť charakteristiky celého súboru.

Základné pojmy štatistiky

Štatistický súbor je súbor štatistických jednotiek s nejakou spoločnou vlastnosťou.

Štatistická jednotka je prvok štatistického súboru, jednotlivý objekt štatistického skúmania: osoba pri sčítaní obyvateľstva; častica pri skúmaní vlastností plynov, kvapalín; domácnosť pri výskume vybavenosti domácností…

Rozsah štatistického súboru je počet štatistických jednotiek v štatistickom súbore, n\in N.

Continue reading →

Kvantifikátory

Matematika Leave a comment

Niektoré výroky obsahujú slová každý, všetci, existuje, …

Každý a všetci neznamená to isté. Výroky:

Každý žiak triedy dostal z písomky jednotku.

Všetci žiaci triedy dostali z písomky jednotku.

sú ekvivalentné, ale napríklad výroky

Každý človek sa zmestí do tejto skrine.

Všetci ľudia sa zmestia do tejto skrine.

ekvivalentné nie sú. Z uvedeného vidno, že hovorová reč často nie je presná, máme v druhom výroku na mysli všetci súčasne alebo osobitne ako v prvom výroku?

Poznámka: Jeden zo žiakov uviedol iný príklad, kedy slovo každý nemožno nahradiť slovom všetci: Každý druhý.

Všeobecný kvantifikátor: Slovo každý(-á,-é) v matematike vyjadrujeme symbolom \forall. Tento symbol nazývame všeobecný kvantifikátor.

Existenčný kvantifikátor: Slovo existuje v matematike vyjadrujem symbolom \exists. Tento symbol nazývame existenčný kvantifikátor.

Continue reading →

Graf funkcie

Matematika Leave a comment

Aký má funkcia priebeh najlepšie uvidíme, ak nakreslíme jej graf.

Najprv nakreslíme súradnicové osy x a y a zvolíme veľkosť jednotkovej úsečky. Obvykle volíme rovnaké jednotkové úsečky pre os x aj y, ale ak funkcia prudko rastie alebo klesá, či naopak, y hodnoty budú v absolútnej hodnote výrazne menšie než hodnoty x môžeme zvoliť rôzne jednotkové úsečky.

Potom si vytvoríme tabuľku, do ktorej zapíšeme hodnoty x do prvého riadku a hodnoty y do druhého riadku. Ak by sme mali napríklad funkciu f(x)=x 2, mohla by tabuľka vyzerať takto:

x-4-3-2-1-0,500,51234
y169410,2500,2514916

Vedieme kolmice na os x v bodoch z prvého riadku a kolmice na os y v bodoch druhého riadku, kde sa tieto kolmice pretnú, označíme bod krúžkom. Keď sme vyznačili všetky body z tabuľky, prepojíme ich krivkou.

Kombinácie

Matematika Leave a comment

Príklad 1: Trieda má 20 žiakov, koľkými spôsobmi z nich možno vytvoriť týždenníkov.
Riešenie: Prvého týždenníka môžeme vybrať z 20 možností a druhého z 19, ale u týždenníkov neurčujeme, ktorý z nich je prvý alebo druhý týždenník, takže ak ako prvého týždenníka zvolíme pôvodne druhého týždenníka a naopak, je to stále tá istá voľba, takže Súčin 20 krát 19 musíme predeliť dvoma. Celkový počet možností je teda 190.

Príklad 2: V hre loto sa žrebuje 6 čísel plus dodatkové číslo zo 49 čísel. Aká je pravdepodobnosť, že hráč vyhrá jackpot, ak podal jeden tip?

Než budeme riešiť druhý príklad, zadefinujeme, čo je to kombinácia.

Kombinácia k-tej triedy z n-prvkov bez opakovania je výber k prvkov z n-prvkovej množiny, pričom nezáleží na poradí prvkov a prvky sa neopakujú.

Continue reading →

Riešenia (permutácie s opakovaním)

Matematika One Comment

Úlohy

  1. Koľko permutácií s opakovaním možno vytvoriť z písmen slova OKOLO?
  2. V krabičke je 10 farbičiek: 4 červené, 3 modré, 2 žlté a jedna zelená. Koľkými spôsobmi ich môžeme usporiadať, ak farbičky rovnakej farby nevieme rozlíšiť?
  3. Osem študentov sa môže ubytovať v troch izbách, pričom dve sú trojposteľové a jedna dvojposteľové. Koľkými spôsobmi sa môžu študenti ubytovať?
  4. Šesťciferný kód na trezore sa skladá z rovnakých číslic ako číslo 926002 a zlodej to vie. Ako najdlhšie by zlodejovi trvalo, než by trezor otvoril, ak nastavenie jednej kombinácie číslic trvá 5 sekúnd?
  5. Koľko rôznych aj bezvýznamových slov možno zostaviť zo slova MATEMATIKA, ak sa použijú všetky písmená?

Continue reading →

Variácie

Matematika Leave a comment

Príklad: Šachového turnaja sa zúčastnilo 8 hráčov. Koľko rôznych umiestnení mohlo byť na prvých troch miestach?

Riešenie: Na prvom mieste mohlo byť 8 hráčov, ak už na prvom mieste máme hráča, na druhom môže byť 7 hráčov a na treťom už len 6, lebo dvaja už sú na prvom a druhom. Počet možných umiestnení na prvých troch miestach je teda 8.7.6=336.

Príklad: Trieda má 20 žiakov. Žiaci si idú voliť triedny výbor: predsedu, podpredsedu a pokladníka. Koľko rôznych zostáv môže mať výbor triedy.

Riešenie: Za predsedu môže byť zvolených 20 žiakov, za podpredsedu už len 19, lebo predseda nemôže byť aj podpredsedom a za pokladníka 18, lebo pokladník nemôže byť zároveň predsedom alebo podpredsedom. Počet rôznych zostáv výboru je 20.19.18=6840.

Oba vyššie uvedené príklady boli príkladmi variácií bez opakovania, keď každý prvok sa vo výbere mohol vyskytnúť iba raz a záležalo na poradí prvkov.

Variácia k-tej triedy z n prvkovej množiny je výber k prvkov z n prvkov.

Ak sa prvky nemôžu opakovať, je to variácia bez opakovania.

Ak sa prvky opakovať môžu, je to variácia s opakovaním.

Continue reading →

Kombinatorika

Matematika Leave a comment

Kombinatorika je matematická disciplína, ktorá sa zaoberá kombinovaním rôznych súborov objektov. Napr. Koľko je možných rôznych poradí na prvých troch miestach, ak je súťažiacich 10? Aká je pravdepodobnosť jackpotu v lotte? Ako spravodlivo nasadiť družstvá v turnaji? Ako zostaviť rozvrh školy, aby vyhovoval daným kritériám?

Výsledky kombinatoriky sa využívajú napríklad pri výpočtoch pravdepodobnosti.

Príklad: Koľko existuje dvojciferných čísel, v ktorých sa číslice neopakujú?

Continue reading →

Funkcia

Matematika Leave a comment

Funkcia na množine D je ľubovoľný predpis, ktorý každému prvku množiny D priradí práve jedno reálne číslo. Funkciu označujeme malým písmenom.

Prvky množiny D nazývame nezávislá premenná, ich obrazy sú závislá premenná. Nezávislú premennú obvykle označujeme x a závislú y, ale môžeme zvoliť také označenie, aby bolo zrejmé čo tieto premenné označujú. napríklad s=v.t, kde s je dráha, v je konštantná alebo priemerná rýchlosť a t je čas.

Continue reading →

Logické spojky (logické operácie)

Matematika Leave a comment

Výroky môžeme spájať logickými spojkami. Spojením dvoch elementárnych výrokov vznikne zložený výrok. Logické spojky predstavujú operátory logických operácií.

  • negácia – pred pôvodný výrok napíšeme nie je pravda že, tiež môžeme napísať predponu ne-. Negáciu výroku A môžeme označiť A‘ alebo použiť operátor \neg. Pri programovaní alebo v exceli používame NOT.
  • konjukcia – a, ako operátor sa namiesto a môžu použiť \wedge, &. Pri programovaní alebo v exceli AND
  • disjunkcia – alebo, ako operátor sa namiesto alebo používa \vee. Pri programovaní a v exceli OR.
  • exkluzívna disjunkcia – vylučujúce alebo, buď … alebo. Ako operátor použijeme pri programovaní a exceli XOR, pri matematickom zápise môžeme použiť \oplus.
  • implikácia – ak A potom B, ak A tak B, z A vyplýva B, A implikuje B. Ako operátor používame A\implies B
  • ekvivalencia – A práve vtedy a len vtedy ak B. Ako operátor používame A\iff B

Continue reading →

Logika

Matematika Leave a comment

Logika je náuka, skúmajúca, ako správne uvažovať.

Logika sa používa vo všetkých vedeckých disciplínach, ale aj v bežnom živote.

Matematická logika je matematická disciplína, ktorá skúma logické výroky a logické súdy z formálneho hľadiska. Študuje pravdivosť zložených výrokov na základe pravdivosti / nepravdivosti elementárnych výrokov.

Logický výrok alebo len výrok je oznamovacia veta, o ktorej vieme rozhodnúť, či je pravdivá alebo nepravdivá.

Continue reading →

Mnohočleny

Matematika Leave a comment

Mnohočlen alebo polynóm n-tého stupňa je algebraický výraz v tvare:

P(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_2 \cdot x^2+a_1\cdot x+a_0

kde a_i sú číselné konštanty a x je premenná. Exponenty pri premennej sú prirodzené čísla, konštanty sú reálne čísla a a^n\neq 0.

Poznámka: termín polynóm pochádza z gréčtiny, kde poly je mnoho a nóm je člen.

Polynóm je napríklad: 3x^2+1 alebo 7x^3+x^2-1

Polynóm môže obsahovať aj viacero premenným napríklad:

R(x,y)=3x^2y+2xy+y^2-1

Continue reading →

Výrazy

Matematika Leave a comment

Algebraický výraz je zápis skladajúci sa z čísel a z písmen (tie označujú premenné), ktoré sú pospájané znakmi matematických operácií, ako sú napríklad sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocnenie, odmocnenie, goniometrické funkcie, logaritmy, absolútna hodnota, atď. Môžu obsahovať aj zátvorky, ktoré určujú poradie (prioritu) vykonávania naznačených operácií. Výrazy sú napríklad zápisy: a^2 + 1,\, 4\sin x,\,\sqrt{a} + 2

Ak namiesto premenných zadáme konkrétne číselné hodnoty, dostaneme hodnotu algebraického výrazu.

Continue reading →

Prevod odmocnín na mocniny

Matematika Leave a comment

Odmocňovanie je opačná operácia k umocňovaniu. \sqrt[n]{a^n}=a.

Opačnou operáciu k sčítaniu je odčítanie a zistili sme, že odčítanie sa dá previesť na sčítanie. K číslu pripočítame záporné číslo:

a-b=a+(-b)

Podobne delenie je opačnou operáciu k násobeniu a zistili sme, že delenie sa dá previesť na násobenie: a:b=a\cdot \dfrac{1}{b}

Analogicky by mohlo platiť, že by sme nejako mohli previesť odmocňovanie na umocňovanie.

Continue reading →

Odmocniny

Matematika Leave a comment

Druhá odmocnina z a je také číslo b pre ktoré platí:

a=b \cdot b označujeme ho b= \sqrt a

Odmocňovanie je opačná operácia k umocňovaniu, takže platí:

\sqrt { a^2 }=a

Podobne možno zadefinovať tretiu odmocninu:

Tretia odmocnina z a je také číslo b pre ktoré platí:

a=b \cdot b \cdot b označujeme ho b= \sqrt[3]{a}

Všeobecne: n-tá odmocnina z a je také číslo b pre ktoré platí:

a=b^n označujeme ho b= \sqrt[n]{a}

Platí: \sqrt[n]{a^n}=a

Continue reading →

Mocniny čísla desať. Zápis veľmi veľkých a veľmi malých čísel

Matematika Leave a comment

Mocniny čísla 10:

10^0=1\hspace{15}10^1=10 \hspace{15} 10^2=100 \hspace{15} 10^3=1000 \hspace{15} 10^4=10000

10^ 5=100000 \hspace{15} 10^ 6=1000000

10^{-1}=0,1 \hspace{15} 10^{-2}=0,01 \hspace{15} 10^{-3}=0,001

Počítame v desiatkovej sústave. Čislo 3456 možno zapísať v tvare:

3456=3\cdot 1000+ 4\cdot 100+5 \cdot 10+ 6\cdot 1

Čísla 1, 10, 100, 1000 sú mocniny čísla 10, takže toto číslo môžeme zapísať aj v tvare:

3456=3\cdot 10^3+ 4\cdot 10^2+5 \cdot 10^1+ 6\cdot 10^0

Podobne aj desatinné čísla môžeme zapísať ako súčet mocnín čísla desať:

0,5607=5\cdot 10^{-1}+ 6\cdot 10^{-2} +0 \cdot 10^{-3}+ 7\cdot 10^{-4}

Niekedy spracujeme s veľmi veľkými alebo s veľmi malými číslami. Často je pohodlnejšie takéto čísla zapísať v tvare súčinu nejakého čísla a mocniny desiatky. Napríklad číslo: 1 235 000 000 – jedna miliarda 235 miliónov možno zapísať takto:

123500000=1,235 \cdot 10^{9 }

Alebo číslo 0,000000005627=5,627 \cdot 10^{-9}

Continue reading →