Postup: Začneme jednotkou, potom skúšame dvojku, trojku … až kým nedôjdeme po číslo, ktorého súčin so sebou samým je väčší než skúmané číslo. Ďalej už nemá zmysel ísť, lebo čísla, ktoré by sme po delení dostali, by boli menšie, než toto hraničné číslo a tieto menšie čísla sme už otestovali.
Dôkazy sú rozširujúcim a prehlbujúcim učivom, pre žiakov, ktorý sa hlbšie zaujímajú o matematiku. Nebudú predmetom skúšania.
Číslo je deliteľom čísla , ak číslo možno zapísať, ako súčin čísla a nejakého čísla :
Aj číslo je deliteľom čísla , ak je .
Možno to vyjadriť aj inak:
Číslo je deliteľom čísla , ak ho delí bezo zvyšku.
Rozpíšme všetky možné vyjadrenia čísel od 1 do 20, ako súčinu dvoch čísel:
Zelenou farbou som označil čísla, ktoré majú iba dva delitele. Čiernou farbou sú napísané čísla, ktoré majú viac než dva delitele. Modrou farbou som označil číslo , ktoré má len jedného deliteľa.
Prvočíslo je číslo, ktoré má dva delitele jednotku a samé seba.
Zložené číslo je číslo, ktoré má viac než dva delitele.
Veta: Číslo dva je jediné párne prvočíslo.
Dôkaz: Ak by číslo n bolo párne číslo väčšie ako dva, tak by malo delitele 1 a samé seba a navyše aj číslo 2.
Veta: Každé zložené číslo možno vyjadriť ako súčin prvočísel.
Dôkaz: Ak je n zložené číslo, možno ho vyjadriť ako súčin dvoch čísel väčších ako 1. . Tieto čísla sú buď prvočísla, alebo sú to znova zložené čísla. Ak sú to zložené čísla, možno ich vyjadriť ako a . Tieto nové činitele sú aspoň dvakrát menšie, než pôvodné. Po konečnom počte krokov, dospejeme k číslu 2, ktoré je prvočíslom, alebo to už neboli zložené čísla.
Využitie prvočísel
V súčasnosti sa prvočísla využívajú hlavne v kryptografii. Kryptografia je veda o šifrovaní a dešifrovaní. Ak máme zložené číslo, ktoré je súčinom dvoch veľmi veľkých prvočísel, dá sa správa zakódovať verejným kľúčom, ale dekódovať sa dá len súkromným kľúčom. Aj veľmi výkonné počítače pri dostatočnej veľkosti prvočísel by pracovali desiatky či stovky rokov, kým by odhalili súkromný kľúč.
V informatike sa prvočísla používajú v hashovacích tabuľkách. Je to také ukladanie informácií, aby sme veľmi rýchlo našli informácie v databáze.
V matematike možno pomocou prvočísel hľadať dokonalé čísla. Dokonalé číslo je číslo, ktorého súčet vlastných deliteľov je rovný dokonalému číslu. Napríklad: 6 má vlastné delitele 1,2,3 a 6=1+2+3 28=1,2,4,7,14 a 28=1+2+4+7+14 Vlastný deliteľ je taký deliteľ, ktorý je menší než číslo ktoré delíme. Starí Gréci prikladali dokonalým číslam magické vlastnosti.
Ak máme tri neznáme a všeobecne n neznámych, aby bolo riešenie jednoznačné, potrebujeme aspoň tri rovnice a všeobecne n rovníc. Ak máme tri neznáme, v matematike ich obvykle označíme písmenami x, y, z. Ak je neznámych viac, označujeme ich pomocou dolného indexu .Sústavu troch lineárnych rovníc riešime podobne, ako sústavu dvoch lineárnych rovníc substitučnou metódou.
Kedysi ste sa naučili riešiť lineárnu rovnicu s jednou neznámou. V živote či vo vede sa stretávame aj so zložitejšími problémami, keď neznáme môžu byť dve a viac. V tomto článku si ukážeme, ako možno riešiť sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prvú neznámu obvykle označíme x, druhú y, ale inak na označení nezáleží (vo fyzike ich napríklad označíme značkami fyzikálnych veličín).
Nižšie sú naskenované správne odpovede testu k množinám. Poradie otázok a odpovedí bolo u každého študenta individuálne. Prečo sú správne uvedené odpovede:
Exponenciálna funkcia so základom väčším ako 1 je rastúca a so základom menším ako 1 a väčším ako 0 je klesajúca. To znamená:
. (1)
alebo
. (2)
Túto vlastnosť využijeme pri riešení exponenciálnych rovníc.
Príklad 1: Vyriešte rovnicu
Pravú stranu upravíme na mocninu 5:
Pre ľavú stranu využijeme vzťah .
Dostaneme:
Teraz využijeme vzťah (1). Riešenie exponenciálnej rovnice sa zmení na riešenie lineárnej rovnice:
Skúška:
Skúška správnosti vyšla. Riešením rovnice je .
Zhrnutie riešenia: Ak na ľavej aj pravej strane máme mocniny s rovnakým základom, riešime rovnicu, v ktorej sa majú rovnať exponenty. Ak nemáme rovnaký základ, nájdeme spoločný základ mocniny. V tomto príklade spoločným základom bolo číslo 5.
Príklad 2: Vyriešte
Ako vyjadriť 0,125, ako mocninu nejakého čísla? Čo je spoločným základom? Môže to byť 4?
Zistili sme, že 4 to nie je. Číslo 4 je mocninou dvojky.
Pôvodnú rovnicu upravíme do tvaru:
Použijeme vzťah a dostaneme:
Teraz stačí vyriešiť lineárnu rovnicu, v ktorej sa exponenty majú rovnať.
Majme trojuholník ABC, z vrcholu C veďme výšku na stranu c, ako ilustruje obrázok vpravo. Výška rozdelila trojuholník na dva pravouhlé trojuholníky a .
Jeden robotník vykope 20 metrový kanál za 8 hodín. Za koľko hodín ho vykopú dvaja robotníci, ak sú rovnako výkonní?
Dvaja robotníci kanál vykopú dvakrát rýchlejšie, takže ho vykopú za 4 hodiny.
Auto išlo priemernou rýchlosťou 60 km za hodinu, z obce Pršany do obce Dažďany došlo za 1 hodinu. Na bicykli cyklista dosahuje na tej istej trati rýchlosť 20 km za hodinu, ako dlho mu cesta potrvá?
Cyklista ide trikrát pomalšie, cesta mu bude trvať trikrát tak dlho. Trasu prejde za tri hodiny.
Oba vyššie uvedené príklady boli príklady nepriamej úmernosti.
Nepriama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak vzťah medzi nimi možno vyjadriť vzorcom: , kde k je konštanta úmernosti a
Keď nakupujem rožky v obchode a jeden rožok stojí 8 centov, výsledná cena, ktorú zaplatím sa dá vyjadriť vzťahom: , kde c je cena a r je počet rožkov.
Rožky
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Cena v centoch
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
Ak idem na bicykli konštantnou rýchlosťou 16 km za hodinu, dráha ktorú prejdem za nejaký čas sa dá vyjadriť vzťahom , kde s je dráha, a t je čas.
Čas
0 min
15 min
30 min
1 hod
2 hod
3 hod
Dráha
0 km
4 km
8 km
16 km
32 km
48 km
Poznámka: 15 minút je štvrť hodiny.
Hore uvedené vzťahy boli príklady priamej úmernosti.
Priama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak hodnotu závislej premennej od nezávislej premennej možno vyjadriť vzorcom v tvare: , kde . Konštanta priamej úmernosti k, je kladné reálne číslo.
Majme stanovený systém podmienok (napr. máme pravidelnú hraciu kocku, ktorej steny sú označené číslami 1, 2, . . . , 6). Proces (dej), ktorý môže nastať pri realizácii týchto podmienok (napr. hod hracou kockou) nazývame pokus. Vyžadujeme, aby každý pokus mal vlastnosť hromadnosti, t. j. aby sme ho mohli teoreticky ľubovoľne krát opakovať. Výsledok tohto procesu nie je jednoznačný, je náhodný, nazývame ho náhodným javom alebo náhodnou udalosťou (napr. padnutie šestky). Náhodný jav je výsledok pokusu. Množinu všetkých navzájom sa vylučujúcich výsledkov pokusu označujme gréckym písmenom . Jej prvky nazývame elementárne udalosti a označujeme ich písmenom , t.j. . Podmnožiny množiny všetkých možných výsledkov pokusu nazývame náhodnými udalosťami.
V praxi neraz budete tovar preceňovať. Buď ho o nejaké percentá zdražíte alebo zlacníte, alebo zmenu vypočítate pripočítaním alebo odpočítaním nejakej čiastky a spätne budete potrebovať zistiť o koľko percent ste cenu zvýšili alebo znížili.
Zlacnenie: Ak tovar chceme zlacniť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca: kde je nová cena a je pôvodná cena.
Príklad: Tovar stoji 70 euro, zlacníme ho 20%. Aká bude nová cena? Nová cena bude 56 euro.
Zdraženie: Ak tovar chceme zdražiť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca kde je nová cena a je pôvodná cena.
Ešte na základnej škole ste sa učili o podobnosti trojuholníkov.
Dva trojuholníky sú podobné ak platí:
Konštantu k nazývame koeficient podobnosti. Ak je k väčšie ako 1, trojuholník sme zväčšili, ak je menšie ako 1 zmenšili a ak je rovný 1, trojuholníky sú zhodné.
Učili ste sa tiež vetu UU.
Veta UU: Ak sú v dvoch trojuholníkoch dva uhly zhodné, potom sú trojuholníky podobné.
Zároveň vieme, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je .
Z uvedených znalostí možno odvodiť, že ak máme dva pravouhlé trojuholníky a jeden z ostrých uhlov jedného trojuholníka je zhodný s ostrým uhlom v druhom trojuholníku, potom sú trojuholníky podobné, pretože majú dva zhodné uhly.
Z toho vyplýva, že pomer strán pravouhlých trojuholníkov s rovnakými uhlami je rovnaký a môžeme zaviesť funkcie uhlov, ktoré budú odvodené z pomerov strán pravouhlého trojuholníka:
Na základnej škole ste veľkosť uhla merali v stupňoch, kde celý kruh mal 360 stupňov, pravý uhol mal 90 stupňov, rovnostranný trojuholník mal 60 stupňové uhly, …
Rozdelenie kruhu na 360 stupňov zaviedli už Babylončania. Vo fyzike sa ukázalo užitočné merať uhly v radiánoch.
Radián je uhol, ktorý s vrcholom v strede kružnice vytne na kružnici oblúk s dĺžkou rovnou dĺžke polomeru. Značka rad.
Obvod kruhu počítame podľa vzorca: , potom 360 stupňom zodpovedá
Po zlacnení o 20% televízor stoji 400 euro. Koľko stál pred zlacnením?
Ak televízor zlacnel o 20%, jeho aktuálna cena je 80% pôvodnej ceny.
80%……400
1% ……..400:80=5
100%…..5 x 100=500
Televízor pred zlacnením stál 500 euro.
Po zlacnení o 25% stojí práčka 300 euro. Koľko stála pred zlacnením?
100-25=75. Aktuálna cena je 75% pôvodnej ceny.
75%…….300
1%……….300:75=4
100%…..4.100=400
Po zdražení o 10% stojí auto 7700 euro. Koľko stálo pôvodne?
100+10=110. Nová cena je 110% p;vodnej ceny.
110%……7700
1%………..7700:110=70
100%……70.100=7000
Pred zdražením stál lístok MHD 60 centov, po zdražení stojí 90 centov. Koľko percentné zdraženie to bolo?
100%…….60
1%………..60:100=0,6
zdraženie je 90-60=30
30:0,6=50
Zdraženie lístkov bolo 50%.
Mesačník na MHD stál 20 euro, po zdražení stojí 25 euro. Koľko percentné zdraženie to bolo?
100%…………20
1%…………….0,20
zdraženie 25-20=5
5:0,2=25
Zdraženie mesačníkov bolo 25%.
Pred zdražením som jazdil mesačne priemerne 25 krát s MHD, teraz jazdím o 40% menej často. O koľko odo mňa získa na tržbách dopravný podnik viac alebo menej za celý rok oproti minulosti?
Rok má 12 mesiacov, pôvodne som minul 12.25.0,6=180 euro
25.0,6=15 jázd mesačne po zdražení
ročne 12.15.0,9=162 euro
180-162=18
Dopravný podnik odo mňa získa ročne o 18 euro menej ako pred zdražením.
Neraz sa stáva, že potrebujeme porovnať dva či viac objektov rovnakého druhu z hľadiska ich štruktúry, pričom objekty nie sú rovnako veľké. Majme dve školy, na jednu chodí 400 žiakov z toho 100 dievčat, na druhú 600 žiakov z toho 120 dievčat. Hoci na druhú školu chodí v absolútnej hodnote dievčat viac, relatívne ich tam chodí menej. Relatívny počet dievčat na oboch školách možno vyjadriť zlomkami:
a
Keď porovnávame relatívne počty, stalo sa zvykom, že relatívny počet prevedieme na zlomok s menovateľom 100 a aby sme nemuseli písať zlomok píšeme znak %.
Hore uvedené zlomky potom prejdú do tvaru a .
Znak % čítame ako percento, názov pochádza z latinského per cento znamenajúce na sto podobne ako jeden cent je stotina eura.
Hoci sa Pascalov trojuholník nazýva podľa matematika Blaise Pascala, neobjavil ho on, ale poznali ho už v 13. storočí čínski matematici. Pascal však tento trojuholník a vzťahy ktoré v ňom platia preštudoval do hĺbky a tak bol pomenovaný po ňom.
Ako vytvoríme Pascalov trojuholník?
Do nultého riadku napíšeme 1, do prvého dve jednotky tak, že jednotka z predchádzajúceho riadku je v strede medzi nimi. Na začiatok a koniec každého ďalšieho riadku napíšeme jednotku a na ostatné pozície napíšeme súčet čísel, ktoré sú nad ním vľavo a vpravo. Tak ako ukazuje animovaný obrázok:
Možno dokázať, že jednotlivé čísla Pascalovho trojuholníka zodpovedajú kombinačným číslam.
n
0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
Vlastnosti Pascalovho trojuholníka
Pascalov trojuholník je osovo súmerný podľa osi prechádzajúcej horným vrcholom.
Súčet čísel v každom riadku zodpovedá n-tej mocnine čísla 2.
Počet kombinácií bez opakovania sme vyjadrili vzorcom:
Kombinačné číslo zapisujeme ako , čítame ako n nad k a jeho hodnotu vypočítame rovnako ako počet kombinácií bez opakovania:
Kombinačné čísla sa vyskytujú nielen v kombinatorike, ale aj pri iných matematických úlohách. Napríklad koeficienty pri rozpísaní mocniny usporiadané zostupne podľa exponentov pri a.
Štatistika alebo matematická štatistika je odbor matematiky, ktorý skúma štatistické súbory – súbory štatistických jednotiek. Zosumarizujú sa znaky jednotlivých jednotiek a potom sa vyhodnotia charakteristické znaky celého štatistického súboru.
Štatistika úzko súvisí s pravdepodobnosťou. Niekedy môžeme preskúmať iba časť celku, vyhodnotením štatistických charakteristík tejto časti vieme s istou spoľahlivosťou určiť charakteristiky celého súboru.
Základné pojmy štatistiky
Štatistický súbor je súbor štatistických jednotiek s nejakou spoločnou vlastnosťou.
Štatistická jednotka je prvok štatistického súboru, jednotlivý objekt štatistického skúmania: osoba pri sčítaní obyvateľstva; častica pri skúmaní vlastností plynov, kvapalín; domácnosť pri výskume vybavenosti domácností…
Rozsah štatistického súboru je počet štatistických jednotiek v štatistickom súbore, .
Niektoré výroky obsahujú slová každý, všetci, existuje, …
Každý a všetci neznamená to isté. Výroky:
Každý žiak triedy dostal z písomky jednotku.
Všetci žiaci triedy dostali z písomky jednotku.
sú ekvivalentné, ale napríklad výroky
Každý človek sa zmestí do tejto skrine.
Všetci ľudia sa zmestia do tejto skrine.
ekvivalentné nie sú. Z uvedeného vidno, že hovorová reč často nie je presná, máme v druhom výroku na mysli všetci súčasne alebo osobitne ako v prvom výroku?
Poznámka: Jeden zo žiakov uviedol iný príklad, kedy slovo každý nemožno nahradiť slovom všetci: Každý druhý.
Všeobecný kvantifikátor: Slovo každý(-á,-é) v matematike vyjadrujeme symbolom . Tento symbol nazývame všeobecný kvantifikátor.
Existenčný kvantifikátor: Slovo existuje v matematike vyjadrujem symbolom . Tento symbol nazývame existenčný kvantifikátor.
Aký má funkcia priebeh najlepšie uvidíme, ak nakreslíme jej graf.
Najprv nakreslíme súradnicové osy x a y a zvolíme veľkosť jednotkovej úsečky. Obvykle volíme rovnaké jednotkové úsečky pre os x aj y, ale ak funkcia prudko rastie alebo klesá, či naopak, y hodnoty budú v absolútnej hodnote výrazne menšie než hodnoty x môžeme zvoliť rôzne jednotkové úsečky.
Potom si vytvoríme tabuľku, do ktorej zapíšeme hodnoty x do prvého riadku a hodnoty y do druhého riadku. Ak by sme mali napríklad funkciu f(x)=x 2, mohla by tabuľka vyzerať takto:
x
-4
-3
-2
-1
-0,5
0
0,5
1
2
3
4
y
16
9
4
1
0,25
0
0,25
1
4
9
16
Vedieme kolmice na os x v bodoch z prvého riadku a kolmice na os y v bodoch druhého riadku, kde sa tieto kolmice pretnú, označíme bod krúžkom. Keď sme vyznačili všetky body z tabuľky, prepojíme ich krivkou.
Príklad 1: Trieda má 20 žiakov, koľkými spôsobmi z nich možno vytvoriť týždenníkov. Riešenie: Prvého týždenníka môžeme vybrať z 20 možností a druhého z 19, ale u týždenníkov neurčujeme, ktorý z nich je prvý alebo druhý týždenník, takže ak ako prvého týždenníka zvolíme pôvodne druhého týždenníka a naopak, je to stále tá istá voľba, takže Súčin 20 krát 19 musíme predeliť dvoma. Celkový počet možností je teda 190.
Príklad 2: V hre loto sa žrebuje 6 čísel plus dodatkové číslo zo 49 čísel. Aká je pravdepodobnosť, že hráč vyhrá jackpot, ak podal jeden tip?
Než budeme riešiť druhý príklad, zadefinujeme, čo je to kombinácia.
Kombinácia k-tej triedy z n-prvkov bez opakovania je výber k prvkov z n-prvkovej množiny, pričom nezáleží na poradí prvkov a prvky sa neopakujú.
Koľko permutácií s opakovaním možno vytvoriť z písmen slova OKOLO?
V krabičke je 10 farbičiek: 4 červené, 3 modré, 2 žlté a jedna zelená. Koľkými spôsobmi ich môžeme usporiadať, ak farbičky rovnakej farby nevieme rozlíšiť?
Osem študentov sa môže ubytovať v troch izbách, pričom dve sú trojposteľové a jedna dvojposteľové. Koľkými spôsobmi sa môžu študenti ubytovať?
Šesťciferný kód na trezore sa skladá z rovnakých číslic ako číslo 926002 a zlodej to vie. Ako najdlhšie by zlodejovi trvalo, než by trezor otvoril, ak nastavenie jednej kombinácie číslic trvá 5 sekúnd?
Koľko rôznych aj bezvýznamových slov možno zostaviť zo slova MATEMATIKA, ak sa použijú všetky písmená?
Príklad: Šachového turnaja sa zúčastnilo 8 hráčov. Koľko rôznych umiestnení mohlo byť na prvých troch miestach?
Riešenie: Na prvom mieste mohlo byť 8 hráčov, ak už na prvom mieste máme hráča, na druhom môže byť 7 hráčov a na treťom už len 6, lebo dvaja už sú na prvom a druhom. Počet možných umiestnení na prvých troch miestach je teda 8.7.6=336.
Príklad: Trieda má 20 žiakov. Žiaci si idú voliť triedny výbor: predsedu, podpredsedu a pokladníka. Koľko rôznych zostáv môže mať výbor triedy.
Riešenie: Za predsedu môže byť zvolených 20 žiakov, za podpredsedu už len 19, lebo predseda nemôže byť aj podpredsedom a za pokladníka 18, lebo pokladník nemôže byť zároveň predsedom alebo podpredsedom. Počet rôznych zostáv výboru je 20.19.18=6840.
Oba vyššie uvedené príklady boli príkladmi variácií bez opakovania, keď každý prvok sa vo výbere mohol vyskytnúť iba raz a záležalo na poradí prvkov.
Variácia k-tej triedy z n prvkovej množiny je výber k prvkov z n prvkov.
Ak sa prvky nemôžu opakovať, je to variácia bez opakovania.
Ak sa prvky opakovať môžu, je to variácia s opakovaním.
Kombinatorika je matematická disciplína, ktorá sa zaoberá kombinovaním rôznych súborov objektov. Napr. Koľko je možných rôznych poradí na prvých troch miestach, ak je súťažiacich 10? Aká je pravdepodobnosť jackpotu v lotte? Ako spravodlivo nasadiť družstvá v turnaji? Ako zostaviť rozvrh školy, aby vyhovoval daným kritériám?
Výsledky kombinatoriky sa využívajú napríklad pri výpočtoch pravdepodobnosti.
Príklad: Koľko existuje dvojciferných čísel, v ktorých sa číslice neopakujú?
Funkcia na množine D je ľubovoľný predpis, ktorý každému prvku množiny D priradí práve jedno reálne číslo. Funkciu označujeme malým písmenom.
Prvky množiny D nazývame nezávislá premenná, ich obrazy sú závislá premenná. Nezávislú premennú obvykle označujeme x a závislú y, ale môžeme zvoliť také označenie, aby bolo zrejmé čo tieto premenné označujú. napríklad , kde je dráha, je konštantná alebo priemerná rýchlosť a je čas.
Výroky môžeme spájať logickými spojkami. Spojením dvoch elementárnych výrokov vznikne zložený výrok. Logické spojky predstavujú operátory logických operácií.
negácia – pred pôvodný výrok napíšeme nie je pravda že, tiež môžeme napísať predponu ne-. Negáciu výroku A môžeme označiť A‘ alebo použiť operátor . Pri programovaní alebo v exceli používame NOT.
konjukcia – a, ako operátor sa namiesto a môžu použiť , &. Pri programovaní alebo v exceli AND
disjunkcia – alebo, ako operátor sa namiesto alebo používa . Pri programovaní a v exceli OR.
exkluzívna disjunkcia – vylučujúce alebo, buď … alebo. Ako operátor použijeme pri programovaní a exceli XOR, pri matematickom zápise môžeme použiť .
implikácia – ak A potom B, ak A tak B, z A vyplýva B, A implikuje B. Ako operátor používame
ekvivalencia – A práve vtedy a len vtedy ak B. Ako operátor používame
Logika sa používa vo všetkých vedeckých disciplínach, ale aj v bežnom živote.
Matematická logika je matematická disciplína, ktorá skúma logické výroky a logické súdy z formálneho hľadiska. Študuje pravdivosť zložených výrokov na základe pravdivosti / nepravdivosti elementárnych výrokov.
Logický výrok alebo len výrok je oznamovacia veta, o ktorej vieme rozhodnúť, či je pravdivá alebo nepravdivá.
Algebraický výraz je zápis skladajúci sa z čísel a z písmen (tie označujú premenné), ktoré sú pospájané znakmi matematických operácií, ako sú napríklad sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocnenie, odmocnenie, goniometrické funkcie, logaritmy, absolútna hodnota, atď. Môžu obsahovať aj zátvorky, ktoré určujú poradie (prioritu) vykonávania naznačených operácií. Výrazy sú napríklad zápisy:
Ak namiesto premenných zadáme konkrétne číselné hodnoty, dostaneme hodnotu algebraického výrazu.
Počítame v desiatkovej sústave. Čislo 3456 možno zapísať v tvare:
Čísla 1, 10, 100, 1000 sú mocniny čísla 10, takže toto číslo môžeme zapísať aj v tvare:
Podobne aj desatinné čísla môžeme zapísať ako súčet mocnín čísla desať:
Niekedy spracujeme s veľmi veľkými alebo s veľmi malými číslami. Často je pohodlnejšie takéto čísla zapísať v tvare súčinu nejakého čísla a mocniny desiatky. Napríklad číslo: 1 235 000 000 – jedna miliarda 235 miliónov možno zapísať takto: