Sústava troch a viac lineárnych rovníc

Ak máme tri neznáme a všeobecne n neznámych, aby bolo riešenie jednoznačné, potrebujeme aspoň tri rovnice a všeobecne n rovníc. Ak máme tri neznáme, v matematike ich obvykle označíme písmenami x, y, z. Ak je neznámych viac, označujeme ich pomocou dolného indexu $x_1, x_2, ...\, x_n$ . Sústavu troch lineárnych rovníc riešime podobne, ako sústavu dvoch lineárnych rovníc substitučnou metódou.

Majme tri rovnice o troch neznámych:

$x+y+z=4$

$x+2y+3z=6$

$x-y-z=0$

Riešenie:

Jednu neznámu z prvej rovnice vyjadríme pomocu zvyšných dvoch. Vyberme si napríklad neznámu $z$ .

$x+y+z=4 /-x-y$

$z=4-x-y$

Do zvyšných dvoch rovníc namiesto $z$ dosadíme výraz $4-x-y$ . Dostaneme dve rovnice o dvoch neznámych:

$x+2y+3\cdot (4-x-y)=6$
$x+2y+12-3x-3y=6$
$-2x-y+12=6 /+2x-12$
$-y=2x-6 / \cdot (-1)$
$y=6-2x$
$x-y-(4-x-y)=0$
$2x-4=0 /+4$
$2x=4 / :2$
$x=2$

Teraz ideme nahor. Túto hodnotu dosadíme do $y=6-2x$ , dostaneme $y=6-2\cdot 2=2$ , teraz namiesto $x$ a $y$ dosadíme $2$ a $2$ do $z=4-x-y$ a dostaneme $z=4-2-2=0$ . Riešením troch hore uvedených rovníc je x=2, y=2 a z=0. Môžeme to tiež napísať ako usporiadanú trojicu [2; 2; 0].

Ešte by sme sa mali presvedčiť, či sme úlohu vyriešili správne, urobíme skúšku správnosti, riešenie dosadíme do pôvodných rovníc.

$L_1=x+y+z=2+2+0=4=P_1$

$L_2=x+2y+3z=2+2\cdot 2+3\cdot 0=6=P_2$

$L_3=x-y-z=2-2-0=0=P_3$

Sústavu rovníc sme vyriešili správne.

Podobne postupujeme, ak je neznámych viac než tri. Z prvej rovnice vyjadríme jednu neznámu, namiesto nej dosadíme výraz, ktorý nám vyšiel do ostatných rovníc. Potom vyjadríme druhú neznámu z druhej rovnice a takto sa nám sústava rovníc nakoniec zredukuje na jednu rovnicu o jednej neznámej. Vypočítanú hodnotu tejto neznámej dosadíme do predchádzajúcej substitúcie a takto postupujeme, až vypočítame všetky neznáme.

Podklady pre výuku matematiky, fyziky a informatiky

Nie je hanba nevedieť. Hanba je tváriť sa, že viem, hoci neviem.

Pridaj komentár Zrušiť odpoveď