február 2020

Kosínusová veta

27.2.2020MatematikagoniometriaTibor Menyhért Leave a comment

Majme trojuholník ABC, z vrcholu C veďme výšku na stranu c, ako ilustruje obrázok vpravo. Výška $v_c$ rozdelila trojuholník na dva pravouhlé trojuholníky $\bigtriangleup AC_0C$ a $\bigtriangleup BC_0C$ .

Pre oba trojuholníky platí Pytagorova veta:

$b^2=x^2+v_c^2$

$v_c^2=b^2-x^2$

$a^2=y^2+v_c^2$

$v_c^2=a^2-y^2$

$c=x+y, \, y=c-x, \, y^2=c^2-2cx+x^2$

$cos\, \alpha=\dfrac{c}{b}, \, x=b\cdot cos\, \alpha$

Continue reading →

Nepriama úmernosť

20.2.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Jeden robotník vykope 20 metrový kanál za 8 hodín. Za koľko hodín ho vykopú dvaja robotníci, ak sú rovnako výkonní?

Dvaja robotníci kanál vykopú dvakrát rýchlejšie, takže ho vykopú za 4 hodiny.

Auto išlo priemernou rýchlosťou 60 km za hodinu, z obce Pršany do obce Dažďany došlo za 1 hodinu. Na bicykli cyklista dosahuje na tej istej trati rýchlosť 20 km za hodinu, ako dlho mu cesta potrvá?

Cyklista ide trikrát pomalšie, cesta mu bude trvať trikrát tak dlho. Trasu prejde za tri hodiny.

Oba vyššie uvedené príklady boli príklady nepriamej úmernosti.

Nepriama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak vzťah medzi nimi možno vyjadriť vzorcom: $y=\dfrac{k}{x}$ , kde k je konštanta úmernosti a $k>0, \, k \in R$

Continue reading →

Priama úmernosť

20.2.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Keď nakupujem rožky v obchode a jeden rožok stojí 8 centov, výsledná cena, ktorú zaplatím sa dá vyjadriť vzťahom: $c=8 \cdot r$ , kde c je cena a r je počet rožkov.

Rožky	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Cena v centoch	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80

Ak idem na bicykli konštantnou rýchlosťou 16 km za hodinu, dráha ktorú prejdem za nejaký čas sa dá vyjadriť vzťahom $s=16 \cdot t$ , kde s je dráha, a t je čas.

Čas	0 min	15 min	30 min	1 hod	2 hod	3 hod
Dráha	0 km	4 km	8 km	16 km	32 km	48 km

Poznámka: 15 minút je štvrť hodiny.

Hore uvedené vzťahy boli príklady priamej úmernosti.

Priama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak hodnotu závislej premennej od nezávislej premennej možno vyjadriť vzorcom v tvare: $y=k \cdot x$ , kde $k>0, \, k \in R$ . Konštanta priamej úmernosti k, je kladné reálne číslo.

Continue reading →

Základné pojmy pravdepodobnosti

18.2.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Majme stanovený systém podmienok (napr. máme pravidelnú hraciu kocku, ktorej steny sú označené číslami 1, 2, . . . , 6). Proces (dej), ktorý môže nastať pri realizácii týchto podmienok (napr. hod hracou kockou) nazývame pokus. Vyžadujeme, aby každý pokus mal vlastnosť hromadnosti, t. j. aby sme ho mohli teoreticky ľubovoľne krát opakovať. Výsledok tohto procesu nie je jednoznačný, je náhodný, nazývame ho náhodným javom alebo náhodnou udalosťou (napr. padnutie šestky). Náhodný jav je výsledok pokusu. Množinu všetkých navzájom sa vylučujúcich výsledkov pokusu označujme gréckym písmenom $\Omega$ . Jej prvky nazývame elementárne udalosti a označujeme ich písmenom $e_i$ , t.j. $\Omega = \{e_1, e_2, ... e_n\}$ . Podmnožiny množiny všetkých možných výsledkov pokusu nazývame náhodnými udalosťami.

Continue reading →

Náhoda a pravdepodobnosť

17.2.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Niektoré javy sú také, že vieme dopredu s absolútnou istotou povedať, čo sa stane za daných okolností:

ak zdvihneme teleso a pustíme ho, vieme že spadne na zem
ak priblížime k sebe dva magnety, začnú sa priťahovať alebo odpudzovať, podľa toho, ktoré póly magnetov sú bližšie k sebe
ak voda dosiahne 100 stupňov celzia pri normálnom tlaku, začne vrieť
ak teplota klesne pod 0 stupňov celzia pri normálnom tlaku, zmrzne

Iné javy sú také, že nevieme s istotou povedať čo nastane, ale vieme že nastane niektorá z možností:

hodíme kocku, padne jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale dopredu nevieme, ktoré z nich to bude
hodíme mincu, padne rub alebo líc
meteorológovia namerajú údaje v atmosfére a síce predpovedia, aké bude počasie, ale čas od času im predpoveď nevyjde
voda síce pri 100 stupňoch celzia začne vrieť, ale nevieme dopredu povedať, či konkrétna molekula vody bude ešte v hrnci o 5 sekúnd

Prvú triedu nazývame deterministické javy. Druhú triedu javov nazývame náhodné javy.

Continue reading →

Precenenie tovaru

6.2.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

V praxi neraz budete tovar preceňovať. Buď ho o nejaké percentá zdražíte alebo zlacníte, alebo zmenu vypočítate pripočítaním alebo odpočítaním nejakej čiastky a spätne budete potrebovať zistiť o koľko percent ste cenu zvýšili alebo znížili.

Zlacnenie: Ak tovar chceme zlacniť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca: $c_n=(1-p/100)\cdot c_p$ kde $c_n$ je nová cena a $c_p$ je pôvodná cena.