január 2020

Dotazník pre štatistický prieskum

30.1.2020MatematikaštatistikaTibor Menyhért Leave a comment

Kliknite na tento odkaz a vyplňte dotazník

Neskôr tu pribudne štatistické vyhodnotenie

Goniometrické funkcie

28.1.2020MatematikagoniometriaTibor Menyhért Leave a comment

Ešte na základnej škole ste sa učili o podobnosti trojuholníkov.

Dva trojuholníky $\Delta ABC, \, \Delta A'B'C'$ sú podobné ak platí: $\dfrac{a' } {a}= \dfrac{b' } {b}= \dfrac{c' } {c}=k$

Konštantu k nazývame koeficient podobnosti. Ak je k väčšie ako 1, trojuholník sme zväčšili, ak je menšie ako 1 zmenšili a ak je rovný 1, trojuholníky sú zhodné.

Učili ste sa tiež vetu UU.

Veta UU: Ak sú v dvoch trojuholníkoch dva uhly zhodné, potom sú trojuholníky podobné.

Zároveň vieme, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je $180 ^ \circ$ .

Z uvedených znalostí možno odvodiť, že ak máme dva pravouhlé trojuholníky a jeden z ostrých uhlov jedného trojuholníka je zhodný s ostrým uhlom v druhom trojuholníku, potom sú trojuholníky podobné, pretože majú dva zhodné uhly.

Z toho vyplýva, že pomer strán pravouhlých trojuholníkov s rovnakými uhlami je rovnaký a môžeme zaviesť funkcie uhlov, ktoré budú odvodené z pomerov strán pravouhlého trojuholníka:

$a':b':c'=k.a:k.b.k.c=a:b:c$

Continue reading →

Radián

27.1.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Na základnej škole ste veľkosť uhla merali v stupňoch, kde celý kruh mal 360 stupňov, pravý uhol mal 90 stupňov, rovnostranný trojuholník mal 60 stupňové uhly, …

Rozdelenie kruhu na 360 stupňov zaviedli už Babylončania. Vo fyzike sa ukázalo užitočné merať uhly v radiánoch.

Radián je uhol, ktorý s vrcholom v strede kružnice vytne na kružnici oblúk s dĺžkou rovnou dĺžke polomeru. Značka rad.

Obvod kruhu počítame podľa vzorca: $o=2\pi r$ , potom 360 stupňom zodpovedá $2\pi\, rad$

$1 \, rad= \dfrac{360}{2 \pi}\doteq 57,3^\circ$

Stupne	Radiány
0	$0$
30	$\dfrac{ \pi }{6}$
45	$\dfrac{ \pi }{4}$
60	$\dfrac{ \pi }{3}$
90	$\dfrac{ \pi }{2}$
120	$\dfrac{ 2\pi }{3}$
180	$\pi$
270	$\dfrac{ 3\pi }{2}$
360	$2 \pi$

Riešenia percentá

24.1.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Koľko percent je 30 zo 120?
- $p=\dfrac{c}{z}\cdot 100=30\cdot 100:120=25\%$
Koľko percent je 25 z 80?
- $p=25\cdot 100:80=31,25\%$
Koľko percent je 15 zo 40?
- $p=37,5\%$
Koľko percent je 8 z 24?
- $p=33,33\%$
Ak je základ 400, koľko je 25%?
- z=400, p=25, c =?
- $p=\dfrac{c}{z}\cdot 100$
- $25=\dfrac{c}{400}\cdot 100$
- $25 \cdot 400 :100=c$
- $c=100$
- 25 % zo 400 je 100
Ak je základ 280, koľko je 30%?
- 100% ….. 280
- 1% ………..2,8
- 30% ………30 x 2,8= 84
- 30% z 280 je 84
Ak je základ 90, koľko je 47%?
- 100% ………. 90
- 1% …………… 0,9
- 47% …………47 x 0,9=42,3
- 47% z 90 je 42,3
Ak je základ 333, koľko je 50%?
- 50% je polovica, 333:2=166,5
- 50% z 333 je 166,5
Ak je 10% 7, koľko je základ?
- $p=\dfrac{c}{z}\cdot 100$
- z= \dfrac{c}{p}\cdot 100
- z= \dfrac{7}{10}\cdot 100=70
- Ak je 10% 7, potom je základ 70 .
Ak je 33% 99, koľko je základ?
- 33% ………. 99
- 1 % ……….. 99:33=3
- 100% ……..3.100=300
- Ak je 33% 99, základ je 300.
Ak je 75% 90, koľko je základ?
- 75% …… 90
- 1% ……… 90:75=1,2
- 100% ….. 1,2 x 100=120
- Ak je 75% 90, základ je 120.
Ak je 13% 26, koľko je základ?
- 13% ……… 26
- 1% ……….. 26:13=2
- 100% ……. 2 x 100=200
- Ak je 13% 26, základ je 200.
Po zlacnení o 20% televízor stoji 400 euro. Koľko stál pred zlacnením?
- Ak televízor zlacnel o 20%, jeho aktuálna cena je 80% pôvodnej ceny.
- 80%……400
- 1% ……..400:80=5
- 100%…..5 x 100=500
- Televízor pred zlacnením stál 500 euro.
Po zlacnení o 25% stojí práčka 300 euro. Koľko stála pred zlacnením?
- 100-25=75. Aktuálna cena je 75% pôvodnej ceny.
- 75%…….300
- 1%……….300:75=4
- 100%…..4.100=400
Po zdražení o 10% stojí auto 7700 euro. Koľko stálo pôvodne?
- 100+10=110. Nová cena je 110% p;vodnej ceny.
- 110%……7700
- 1%………..7700:110=70
- 100%……70.100=7000
Pred zdražením stál lístok MHD 60 centov, po zdražení stojí 90 centov. Koľko percentné zdraženie to bolo?
- 100%…….60
- 1%………..60:100=0,6
- zdraženie je 90-60=30
- 30:0,6=50
- Zdraženie lístkov bolo 50%.
Mesačník na MHD stál 20 euro, po zdražení stojí 25 euro. Koľko percentné zdraženie to bolo?
- 100%…………20
- 1%…………….0,20
- zdraženie 25-20=5
- 5:0,2=25
- Zdraženie mesačníkov bolo 25%.
Pred zdražením som jazdil mesačne priemerne 25 krát s MHD, teraz jazdím o 40% menej často. O koľko odo mňa získa na tržbách dopravný podnik viac alebo menej za celý rok oproti minulosti?
- Rok má 12 mesiacov, pôvodne som minul 12.25.0,6=180 euro
- 25.0,6=15 jázd mesačne po zdražení
- ročne 12.15.0,9=162 euro
- 180-162=18
- Dopravný podnik odo mňa získa ročne o 18 euro menej ako pred zdražením.

Percentá

24.1.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Neraz sa stáva, že potrebujeme porovnať dva či viac objektov rovnakého druhu z hľadiska ich štruktúry, pričom objekty nie sú rovnako veľké. Majme dve školy, na jednu chodí 400 žiakov z toho 100 dievčat, na druhú 600 žiakov z toho 120 dievčat. Hoci na druhú školu chodí v absolútnej hodnote dievčat viac, relatívne ich tam chodí menej. Relatívny počet dievčat na oboch školách možno vyjadriť zlomkami:

$d_{1}= \dfrac{100}{400}= \dfrac{1}{4}$ a $d_{2}= \dfrac{120}{600}= \dfrac{1}{5}$

Keď porovnávame relatívne počty, stalo sa zvykom, že relatívny počet prevedieme na zlomok s menovateľom 100 a aby sme nemuseli písať zlomok píšeme znak %.

Hore uvedené zlomky potom prejdú do tvaru $d_{1} = \dfrac{25}{100}= 25\%$ a $d_{2}= \dfrac{20}{100}= 20\%$ .

Znak % čítame ako percento, názov pochádza z latinského per cento znamenajúce na sto podobne ako jeden cent je stotina eura.

Continue reading →

Pascalov trojuholník

23.1.2020MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Hoci sa Pascalov trojuholník nazýva podľa matematika Blaise Pascala, neobjavil ho on, ale poznali ho už v 13. storočí čínski matematici. Pascal však tento trojuholník a vzťahy ktoré v ňom platia preštudoval do hĺbky a tak bol pomenovaný po ňom.

Ako vytvoríme Pascalov trojuholník?

Do nultého riadku napíšeme 1, do prvého dve jednotky tak, že jednotka z predchádzajúceho riadku je v strede medzi nimi. Na začiatok a koniec každého ďalšieho riadku napíšeme jednotku a na ostatné pozície napíšeme súčet čísel, ktoré sú nad ním vľavo a vpravo. Tak ako ukazuje animovaný obrázok:

Možno dokázať, že jednotlivé čísla Pascalovho trojuholníka zodpovedajú kombinačným číslam.

$\sum$

${0 \choose 0}$

$2 ^ 0=1$

n=1

${1 \choose 0}$

${1 \choose 1}$

$2 ^ 1=2$

n=2

${2 \choose 0}$

${2 \choose 1}$

${2 \choose 2}$

$2 ^ 2=4$

n=3

${3 \choose 0}$

${3 \choose 1}$

${3 \choose 2}$

${3 \choose 3}$

$2 ^ 3=8$

n=4

${4 \choose 0}$

${4 \choose 1}$

${4 \choose 2}$

${4 \choose 3}$

${4 \choose 4}$

$2 ^ 4=16$

n=5

${5 \choose 0}$

${5 \choose 1}$

${5 \choose 2}$

${5 \choose 3}$

${5 \choose 4}$

${5 \choose 5}$

$2 ^ 5=32$

Vlastnosti Pascalovho trojuholníka

Pascalov trojuholník je osovo súmerný podľa osi prechádzajúcej horným vrcholom.
Súčet čísel v každom riadku zodpovedá n-tej mocnine čísla 2.
${n \choose k}= {n-1 \choose k-1}+ {n-1 \choose k}$ pre $n > 0$

Kombinačné čísla

23.1.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Počet kombinácií bez opakovania sme vyjadrili vzorcom:

$K(n)= \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$

Kombinačné číslo zapisujeme ako ${n \choose k}$ , čítame ako n nad k a jeho hodnotu vypočítame rovnako ako počet kombinácií bez opakovania: ${n \choose k}= \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$

Kombinačné čísla sa vyskytujú nielen v kombinatorike, ale aj pri iných matematických úlohách. Napríklad koeficienty pri rozpísaní mocniny $(a+b)^n$ usporiadané zostupne podľa exponentov pri a.

Podklady pre výuku matematiky, fyziky a informatiky

Nie je hanba nevedieť. Hanba je tváriť sa, že viem, hoci neviem.