Goniometrické funkcie

Ešte na základnej škole ste sa učili o podobnosti trojuholníkov.

Dva trojuholníky $\Delta ABC, \, \Delta A'B'C'$ sú podobné ak platí: $\dfrac{a' } {a}= \dfrac{b' } {b}= \dfrac{c' } {c}=k$

Konštantu k nazývame koeficient podobnosti. Ak je k väčšie ako 1, trojuholník sme zväčšili, ak je menšie ako 1 zmenšili a ak je rovný 1, trojuholníky sú zhodné.

Učili ste sa tiež vetu UU.

Veta UU: Ak sú v dvoch trojuholníkoch dva uhly zhodné, potom sú trojuholníky podobné.

Zároveň vieme, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je $180 ^ \circ$ .

Z uvedených znalostí možno odvodiť, že ak máme dva pravouhlé trojuholníky a jeden z ostrých uhlov jedného trojuholníka je zhodný s ostrým uhlom v druhom trojuholníku, potom sú trojuholníky podobné, pretože majú dva zhodné uhly.

Z toho vyplýva, že pomer strán pravouhlých trojuholníkov s rovnakými uhlami je rovnaký a môžeme zaviesť funkcie uhlov, ktoré budú odvodené z pomerov strán pravouhlého trojuholníka:

$a':b':c'=k.a:k.b.k.c=a:b:c$

Sínus uhla $\alpha$ je pomer protiľahlej odvesny k prepone. Značíme sin a vzorcom môžeme vyjadriť ako: $sin \, \alpha = \dfrac {a} {c}$

Cosínus uhla $\alpha$ je pomer priľahlej odvesny k prepone. Značíme cos a vzorcom môžeme vyjadriť ako $sin \, \alpha = \dfrac {b} {c}$

Hodnoty funkcie sínus a cosínus pre niektoré uhly

$\alpha$	$0^ \circ$	$30^ \circ$	$45^ \circ$	$60^ \circ$	$90^ \circ$
$sin \, \alpha$	$0$	$0,5$	$\dfrac { \sqrt 2} {2}$	$\dfrac { \sqrt 3} {2}$	$1$
$cos \, \alpha$	$1$	$\dfrac { \sqrt 3} {2}$	$\dfrac { \sqrt 2} {2}$	$0,5$	$0$

Výpočet hodnoty sínus pre 45 stupňový uhol

Ak je uhol alfa rovný 45 stupňov, potom je aj uhol beta rovný 45 stupňov. Ak sú oba uhly zhodné, trojuholník je rovnoramenný. Zároveň je pravouhlý a platí preň Pytagorova veta: $c^2=a^2+b^2$ , ale $a=b$ , potom platí $c^2=2\cdot a^2$ , ak obe strany odmocníme dostaneme $c=\sqrt{2\cdot a^2}=\sqrt{2}\cdot a$

$\sin 45^\circ=\dfrac{a}{c}=\dfrac{a}{ \sqrt{2}\cdot a }=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Výpočet hodnoty cosínus pre 45 stupňový uhol

Odvesny a a b sú v rovnoramennom pravouhlom trojuholníku rovnaké, preto $cos\, 45^\circ =sin\, 45^\circ =0,5$

Poznámka: v poslednom kroku sme zlomok rozšírili $\sqrt{2}$

Výpočet hodnoty sínus pre 30 stupňový uhol

Majme rovnostranný trojuholník, uhly v ronostrannom trojuholníku majú po 60 stupňov. Veďme z vrcholu A výšku na stranu a, vznikne pravouhlý trojuholník pričom uhol pri vrchole A má 30 stupňov a výška pretína stranu a v jej polovici a dĺžka strany c je rovná dĺžke strany a. $sin \, 30^\circ=\dfrac{0,5a}{a}=0,5$

Výpočet hodnoty cosínus pre 30 stupňový uhol

V hore uvedenom trojuholníku je priľahlou odvesnou výška na stranu a, pre pravouhlý trojuholník platí Pytagorova veta $c^2=a^2+b^2$ , v našom prípade teda platí $a^2=(dfrac{a}{2})^2+h_a^2$

Podklady pre výuku matematiky, fyziky a informatiky

Nie je hanba nevedieť. Hanba je tváriť sa, že viem, hoci neviem.

Pridaj komentár Zrušiť odpoveď