Pascalov trojuholník

Blaise Pascal

Hoci sa Pascalov trojuholník nazýva podľa matematika Blaise Pascala, neobjavil ho on, ale poznali ho už v 13. storočí čínski matematici. Pascal však tento trojuholník a vzťahy ktoré v ňom platia preštudoval do hĺbky a tak bol pomenovaný po ňom.

Ako vytvoríme Pascalov trojuholník?

Do nultého riadku napíšeme 1, do prvého dve jednotky tak, že jednotka z predchádzajúceho riadku je v strede medzi nimi. Na začiatok a koniec každého ďalšieho riadku napíšeme jednotku a na ostatné pozície napíšeme súčet čísel, ktoré sú nad ním vľavo a vpravo. Tak ako ukazuje animovaný obrázok:

Možno dokázať, že jednotlivé čísla Pascalovho trojuholníka zodpovedajú kombinačným číslam.

n \sum
0 {0 \choose 0} 2 ^ 0=1
n=1 {1 \choose 0} {1 \choose 1} 2 ^ 1=2
n=2 {2 \choose 0} {2 \choose 1} {2 \choose 2} 2 ^ 2=4
n=3 {3 \choose 0} {3 \choose 1} {3 \choose 2} {3 \choose 3} 2 ^ 3=8
n=4 {4 \choose 0} {4 \choose 1} {4 \choose 2} {4 \choose 3} {4 \choose 4} 2 ^ 4=16
n=5 {5 \choose 0} {5 \choose 1} {5 \choose 2} {5 \choose 3} {5 \choose 4} {5 \choose 5} 2 ^ 5=32

Vlastnosti Pascalovho trojuholníka

  • Pascalov trojuholník je osovo súmerný podľa osi prechádzajúcej horným vrcholom.
  • Súčet čísel v každom riadku zodpovedá n-tej mocnine čísla 2.
  • {n \choose k}= {n-1 \choose k-1}+ {n-1 \choose k} pre n > 0
print

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *