Permutácia je usporiadanie všetkých prvkov množiny.
Permutácia je špeciálny prípad variácie. Je to variácia n-tej triedy z n prvkovej množiny. Ak sa prvky v množine neopakujú:
Počet permutácií n-prvkovej množiny bez opakovania teda je:
Úlohy:
- Koľko rôznych päťciferných čísel možno zapísať pomocou číslic: 1,2,3,4,5
a) ak sa číslice nemôžu opakovať
b) koľko z nich sa bude začínať číslicou 5
c) koľko z nich bude párnych - Ak sa zväčší počet prvkov o dva, zväčší sa počet permutácií bez opakovania 42 krát. Koľko bolo prvkov?
- Do jedálne prišlo 7 detí, koľkými spôsobmi sa môžu postaviť do radu?
- Na lavičke v parku sedí 5 chlapcov. Koľkokrát si môžu presadnúť ak dvaja z nich chcú sedieť vždy vedľa seba?
Permutácie s opakovaním
Permutácia s opakovaním: Máme n-prvkovú množinu. V nej je prvkov prvého druhu, prvkov druhého druhu až prvkov k-teho druhu. . Usporiadanie takejto množiny nazývame permutácia s opakovaním.
Možno dokázať, že pre počet permutácií s opakovaním platí:
Dôkaz: Ak by sme rovnaké prvky dokázali rozlíšiť, tak všetky možné permutácie by boli permutácie bez opakovania a bolo by ich .
Permutácií rovnakých prvkov je , ale ak ich nerozlišujeme, tak je jedno v akom poradí sú usporiadané, teda musíme celkový počet permutácií všetkých prvkov predeliť číslom . Toto keď urobíme pre každý druh dostaneme hore uvedený vzorec.
Otestujme náš vzorec pre extrémne hodnoty:
1. všetky prvky sú rovnaké
2. všetky prvky sú rôzne
- Ak sú všetky prvky rovnaké, tak je jedno ako sú usporiadané a máme len jedno usporiadanie.
- Ak sa žiaden prvok neopakuje, tak ide o permutáciu bez opakovania, takže má ich byť n!. Každý prvok je tam iba raz a 1!=1, delenie jednotkou nemení číslo v čitateľovi, takže dostávame n!.
Úlohy:
- Koľko permutácií s opakovaním možno vytvoriť z písmen slova OKOLO?
- V krabičke je 10 farbičiek: 4 červené, 3 modré, 2 žlté a jedna zelená. Koľkými spôsobmi ich môžeme usporiadať, ak farbičky rovnakej farby nevieme rozlíšiť?
- Osem študentov sa môže ubytovať v troch izbách, pričom dve sú trojposteľové a jedna dvojposteľové. Koľkými spôsobmi sa môžu študenti ubytovať?
- Šesťciferný kód na trezore sa skladá z rovnakých číslic ako číslo 926002 a zlodej to vie. Ako najdlhšie by zlodejovi trvalo, než by trezor otvoril, ak nastavenie jednej kombinácie číslic trvá 5 sekúnd?
- Koľko rôznych aj bezvýznamových slov možno zostaviť zo slova MATEMATIKA?
Zdroje:
- Pri písaní článku boli použité časti tohoto článku