Permutácie

Matematika

Permutácia je usporiadanie všetkých prvkov množiny.

Permutácia je špeciálny prípad variácie. Je to variácia n-tej triedy z n prvkovej množiny. Ak sa prvky v množine neopakujú:

P(n)=V_n(n)=\dfrac{n!}{(n-n)!}=\dfrac{n!}{0!}=\dfrac{n!}{1}=n!

Počet permutácií n-prvkovej množiny bez opakovania teda je: P(n)=n!

Úlohy:

  1. Koľko rôznych päťciferných čísel možno zapísať pomocou číslic: 1,2,3,4,5
    a) ak sa číslice nemôžu opakovať
    b) koľko z nich sa bude začínať číslicou 5
    c) koľko z nich bude párnych
  2. Ak sa zväčší počet prvkov o dva, zväčší sa počet permutácií bez opakovania 42 krát. Koľko bolo prvkov?
  3. Do jedálne prišlo 7 detí, koľkými spôsobmi sa môžu postaviť do radu?
  4. Na lavičke v parku sedí 5 chlapcov. Koľkokrát si môžu presadnúť ak dvaja z nich chcú sedieť vždy vedľa seba?

Permutácie s opakovaním

Permutácia s opakovaním: Máme n-prvkovú množinu. V nej je n_1 prvkov prvého druhu, n_2 prvkov druhého druhu až n_k prvkov k-teho druhu. n=n_1+n_2+...+n_k. Usporiadanie takejto množiny nazývame permutácia s opakovaním.

Možno dokázať, že pre počet permutácií s opakovaním platí:

P'_{n_1, n_2,...n_k}(n)=\dfrac{n!}{n_1!\cdot n_2!...n_k!}

Dôkaz: Ak by sme rovnaké prvky dokázali rozlíšiť, tak všetky možné permutácie by boli permutácie bez opakovania a bolo by ich n!.
Permutácií rovnakých prvkov n_i je n_i!, ale ak ich nerozlišujeme, tak je jedno v akom poradí sú usporiadané, teda musíme celkový počet permutácií všetkých prvkov predeliť číslom n_i!. Toto keď urobíme pre každý druh dostaneme hore uvedený vzorec.

Otestujme náš vzorec pre extrémne hodnoty:
1. všetky prvky sú rovnaké
2. všetky prvky sú rôzne

  1. Ak sú všetky prvky rovnaké, tak je jedno ako sú usporiadané a máme len jedno usporiadanie. P'_n(n)=\dfrac{n!}{n!}=1
  2. Ak sa žiaden prvok neopakuje, tak ide o permutáciu bez opakovania, takže má ich byť n!. Každý prvok je tam iba raz a 1!=1, delenie jednotkou nemení číslo v čitateľovi, takže dostávame n!.

Úlohy:

  1. Koľko permutácií s opakovaním možno vytvoriť z písmen slova OKOLO?
  2. V krabičke je 10 farbičiek: 4 červené, 3 modré, 2 žlté a jedna zelená. Koľkými spôsobmi ich môžeme usporiadať, ak farbičky rovnakej farby nevieme rozlíšiť?
  3. Osem študentov sa môže ubytovať v troch izbách, pričom dve sú trojposteľové a jedna dvojposteľové. Koľkými spôsobmi sa môžu študenti ubytovať?
  4. Šesťciferný kód na trezore sa skladá z rovnakých číslic ako číslo 926002 a zlodej to vie. Ako najdlhšie by zlodejovi trvalo, než by trezor otvoril, ak nastavenie jednej kombinácie číslic trvá 5 sekúnd?
  5. Koľko rôznych aj bezvýznamových slov možno zostaviť zo slova MATEMATIKA?

Riešenia

Zdroje:

print

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *