Mocninové funkcie

Mocninová funkcia je funkcia v tvare: $y=a\cdot x^n,\, kde\, a\neq 0, n\neq 0,\,a,n,x \in R$

Preskúmajme vlastnosti mocninovej funkcie, ak je n celé číslo.
Celé čísla môžu byť kladné alebo záporné, párne alebo nepárne.

Nech n je párne kladné číslo

Preskúmajme vlastnosti funkcií 
 Do tabuľky vypíšme hodnoty týchto funkcií pre čísla -3;-2;-1;-0 a pre k nim opačné čísla:
   |-3|-2|-1| -0,5|0| 0,5 | 1| 2| 3
_________________________________________
  | 9| 4| 1| 0,25|0| 0,25| 1| 4| 9
_________________________________________
|-9|-4|-1|-0,25|0|-0,25|-1|-4|-9

Grafy týchto funkcii sú na tomto obrázku (graf bol zostrojený pomocou vyhľadávača google, ako vyhľadávaný výraz som zadal x^2,-x^2, prvá funcia je modrá, druhá je červená):

Vlastnosti funkcie $x^2$ :

Definičný obor: $D(x^2)=R=(-\infty;\infty)$

Obor hodnôt: $H(x^2)=R^+_0=<0;\infty)$

Extrémy: má minimum v bode $0$ a $f(0)=0$ , nemá maximum.

Kde rastie a kde klesá: na intervale $(-\infty;0)$ klesá na intervale $(0;\infty)$ rastie. V bode $0$ ani nerastie ani neklesá.

Prostosť funcie: funkcia nie je prostá, napríklad $f(-2)=f(2)=4$

Vlastnosti funcie $-x^2$ :

Definičný obor: $D(x^2)=R=(-\infty;\infty)$

Obor hodnôt: $H(x^2)=R^-_0=(-\infty;0>$

Extrémy: má maximum v bode $0$ a $f(0)=0$ , nemá minimum.

Kde rastie a kde klesá: na intervale $(-\infty;0)$ rastie na intervale $(0;\infty)$ klesá. V bode $0$ ani nerastie ani neklesá.

Prostosť funcie: funkcia nie je prostá, napríklad $f(-2)=f(2)=-4$

Rovnaké vlastnosti by mali aj ostatné funcie s párnym kladným mocniteľom, iba by prudšie rástli a klesali.

Nech n je kladné a nepárne

Preskúmajme funkcie $f_1(x)=x^3\, a f_2(x)-x^3$

V tabuľke sú hodnoty funcií pre rovnaké čísla, ako v predchádzajúcom prípade:

   | -3|-2|-1|  -0,5|0| 0,5 | 1| 2| 3
_________________________________________
  |-27|-8|-1|-0,125|0| 0,125| 1| 8|27
_________________________________________
| 27| 8| 1| 0,125|0|-0,125|-1|-8|-27

Grafy týchto funkcií sú na tomto obrázku, prvá je nakreslená modrou, druhá červenou farbou.