Logické spojky (logické operácie)

Výroky môžeme spájať logickými spojkami. Spojením dvoch elementárnych výrokov vznikne zložený výrok. Logické spojky predstavujú operátory logických operácií.

  • negácia – pred pôvodný výrok napíšeme nie je pravda že, tiež môžeme napísať predponu ne-. Negáciu výroku A môžeme označiť A‘ alebo použiť operátor \neg. Pri programovaní alebo v exceli používame NOT.
  • konjukciaa, ako operátor sa namiesto a môžu použiť \wedge, &. Pri programovaní alebo v exceli AND
  • disjunkcia alebo, ako operátor sa namiesto alebo používa \vee. Pri programovaní a v exceli OR.
  • exkluzívna disjunkciavylučujúce alebo, buď … alebo. Ako operátor použijeme pri programovaní a exceli XOR, pri matematickom zápise môžeme použiť \oplus.
  • implikáciaak A potom B, ak A tak B, z A vyplýva B, A implikuje B. Ako operátor používame A\implies B
  • ekvivalenciaA práve vtedy a len vtedy ak B. Ako operátor používame A\iff B

Negácia

Negácia je unárna operácia (má len jeden operand). Operátorom negácie je nie je pravda že, alebo ne-, v matematickom zápise apostrof nad výrokom alebo \ neg. Negácia je opačný výrok k pôvodnému výroku. Ak bol výrok pravdivý, jeho negácia je nepravdivá, ak bol nepravdivý, jeho negácia je pravdivá. Negáciou negácie je pôvodný výrok.

Bežný jazyk je v tomto smere vágny (nepresný, nejednoznačný). Keď povieme „Nie, neprší“, tak asi máme na mysli „Neprší“, hoci by to mohlo znamenať „Prší“, keďže sme prší dvakrát znegovali (popreli).

A=Prší. A‘=Neprší. A‘=Nie je pravda, že prší.

Pravdivostná tabuľka pre negáciu

AA‘(A‘)‘
0
1
1
0
0
1

Konjukcia

Konjukcia je binárna operácia (má dva operandy). Logickým operátorom konjukcie je a, v matematickom zápise \wedge. Konjukciu nazývame aj logický súčin pretože jej pravdivostné hodnoty zodpovedajú binárnemu súčinu pravdivostných hodnôt oboch výrokov. Konjukcia je pravdivá, ak oba výroky sú pravdivé.

Pravdivostná tabuľka konjukcie

ABA \wedge B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1

Disjunkcia

Disjunkcia je binárna operácia. Jej operátorom je logická spojka alebo, v matematickom zápise \vee . V bežnej reči obvykle ak použijeme slovo alebo, máme na mysli, že nastane práve jedna z možností. Alebo v logike predstavuje aj možnosť, že obe možnosti nastanú, čiže zložený výrok je nepravdivý, len ak sú oba výroky nepravdivé.

Pravdivostná tabuľka disjunkcie

ABA \vee B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1

Vylučujúce alebo

Vylučujúce alebo (angl. exclusive or) je binárna logická operácia. Jej operátorm je logická spojka buď … alebo …, v matematickom zápise \oplus, v exceli XOR. Zložený výrok je pravdivý, ak je pravdivý práve jeden z výrokov A, B.

ABA xor B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0

Implikácia

Implikácia je binárna logická operácia. Jej operátorom je logická spojka Ak … potom …, alebo Ak … tak …, v matematickom zápise \implies. Platnosť výroku A je postačujúcou podmienkou pre platnosť výroku B, ale nie je nutnou podmienkou pre platnosť B. Napríklad výrok: Ak prirodzené číslo n končí číslicou 0, potom je deliteľné 5 je pravdivý. Ale ak číslo n končí 5, tiež je deliteľné 5.

Pravdivostná tabuľka implikácie

ABA\implies B
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1

Ak máme postupnosť pravdivých implikácií A\implies B, B \implies  C, C\implies  D potom je pravdivá aj implikácia A \implies  D

Obrátená implikácia: K implikácii A \implies  B je obrátenou implikáciou B \implies  A. Hoci je pôvodná implikácia pravdivá, obrátená implikácia pravdivá byť nemusí. Výrok Ak je prirodzené číslo n deliteľné 5, potom číslo n končí číslicou 0 nie je pravdivý. Napríklad číslo 25 je deliteľné 5 a končí 5.

Ak je na oblohe dúha, potom prší. Výrok je pravdivý, bez dažďa dúha na oblohe byť nemôže.

Obrátená implikácia je: Ak prší, potom je na oblohe dúha. Výrok pravdivý nie je, väčšinou keď prší, dúha nevznikne. Musí navyše svietiť slnko a musíme stáť v istom rozpätí uhlov medzi dažďom a slnkom.

Skúsme výrok Ak je na oblohe dúha, potom prší, zmeniť tak aby vznikla implikácia, kde by si výroky vymenili miesta, trochu sme ich upravili a táto implikácia aby bola pravdivá. Ak neprší, nie je na oblohe dúha. Tento výrok je pravdivý a nazývame ho obmenená implikácia.

Obmenená implikácia k výroku A \implies B je výrok B'\implies A'.

Obmenená implikácia má rovnakú pravdivostnú hodnotu, ako pôvodná implikácia.

Pravdivostná tabuľka implikácie a obmenenej implikácie

ABA‘B‘A \implies  BB' \implies  A'
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
print

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *