Mocniny

Už na základnej škole ste sa stretli s druhou a treťou mocninou a so zovšeobecnením pre umocňovanie na ľubovolné prirodzené číslo.

Druhá mocnina: $a^2=a\cdot a$

Druhu mocninu ste používali napríklad pri výpočte obsahu štvorca a kruhu a pri Pytagorovej vete.

Obsah štvorca so stranou $a$ : $S=a^2$

Obsah kruhu s polomerom $r$ : $S=\pi r^2$

Pytagorova veta: $c^2=a^2+b^2$

Tretia mocnina: $a^3=a\cdot a \cdot a$

Tretiu mocninu ste používali napríklad pri výpočte objemu kocky a objemu gule.

Objem kocky so stranou $a$ : $V=a^3$

Objem gule s polomerom $r$ : $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$

n-tá mocnina

Zovšeobecnením môžeme zaviesť mocninu na n:

$a^n=a_1\cdot a_2\cdot ... \cdot a_n,\, kde\, a_1=a_2=...=a_n$

Súčin n rovnakých činiteľov nazývame n-tá mocnina.

Pravidlá pre počítanie s mocninami

Možno dokázať nasledujúce pravidlá pre počítanie s mocninami:

$a^n \cdot a^m= a^{m+n}$
$a^n : a^m= a^{m-n}$
$(a^m)^n=a^{m \cdot n}$
$(a\cdot b)^n=a^n \cdot b^n$
$\begin{pmatrix}\dfrac{a}{b}\end{pmatrix}^n=\dfrac{a^n}{b^n}$

Dôkazy nájdete v tomto článku (zatiaľ nenapísané)

Príklady:

$0^n=0, \,ak \, n\,\neq 0$

$1^n=1$

$\begin{tabular}[p]{2} 2^2=4 \hspace{15} 2^3=8\\ 3^2=9 \hspace{15} 3^3=27\\ 4^2=16 \hspace{15} 4^3=64\\ 5^2=25 \hspace{15} 5^3=125\\ 6^2=36 \hspace{15} 6^3=216\\ 7^2=49 \hspace{15} 7^3=343\\ 8^2=64 \hspace{15} 9^3=512\\ 9^2=81 \hspace{15} 9^3=729\\ 10^2=100 \hspace{15} 10^3=1000\\ \end{tabular}$

$30^2=(3.10)^2=3^2\cdot 10^2=9 \cdot 100=900$ Vzorec: $(ab)^n=a^n \cdot b^n$

Čo je prvá mocnina?

$a^{m+1}:a^m=a^{m+1-m}=a^1=a$

Použili sme vzorec pre delenie mocnín s rovnakým základom $a^m:a^n=a^{m-n}$ a skutočnosť, že v čitateľovi sa $a$ nachádza o jeden raz častejšie než v menovateľovi, takže po vykrátení nám zostane len $a$ .