Mnohočleny

Mnohočlen alebo polynóm n-tého stupňa je algebraický výraz v tvare:

$P(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_2 \cdot x^2+a_1\cdot x+a_0$

kde $a_i$ sú číselné konštanty a $x$ je premenná. Exponenty pri premennej sú prirodzené čísla, konštanty sú reálne čísla a $a^n\neq 0$ .

Poznámka: termín polynóm pochádza z gréčtiny, kde poly je mnoho a nóm je člen.

Polynóm je napríklad: $3x^2+1$ alebo $7x^3+x^2-1$

Polynóm môže obsahovať aj viacero premenným napríklad:

$R(x,y)=3x^2y+2xy+y^2-1$

V polynóme $P(x)$ môžeme jednotlivým členom priradiť tieto názvy:

$a_0\,\,$ – absolútny člen
$a_1x\,$ – lineárny člen
$a_2x^2$ – kvadratický člen
$a_3x^3$ – kubický člen
$a_4x^4$ – člen štvrtého stupňa
$a_nx^n$ – člen n-tého stupňa

Opačný mnohočlen k mnohočlenu je taký mnohočlen, ktorý má opačné koeficienty v jednotlivých členoch. K mnohočlenu $3x^2-2x+1$ je opačný mnohočlen $-3x^2+2x-1$

Príklad 1: Upravte daný výraz, určte stupeň mnohočlena a jeho koeficienty:

$(n-3)^2-(n^2+1)^2+2(n+1)^2=n^2-6n+9-n^4-2n^2-1+2n^2+4n+1=$

$-n^4+n^2-2n+10$

Mnohočlen je štvrtého stupňa a jeho koeficienty sú:

$a_4=-1, \, a_3=0,\, a_2=1,\, a_1=-2,\, a_0=10$

Všimnite si, že som uviedol aj koeficient $a_3$ , ktorý síce v mnohočlene nebol uvedený, ale implicitne tam bol, lebo $0n^3=0$ .

Príklad 2: Určite stupeň mnohočlena a absolútny člen z výrazu:

$(-2x^2+x+6)\cdot (2x^5-1)\cdot (5x^2-2x+7)$

Napohľad vyzerá úloha zložito, ak by sme mali upraviť výraz na mnohočlen násobili by sme tri členy dvoma členmi a potom 6 členov 3 členmi. Spolu 24 operácií. Našou úlohou je ale určiť stupeň mnohočlena a absolútny člen. Stupeň mnohočlena určíme násobením mocnín najväčších stupňov v jednotlivých činiteľoch a absolútny člen násobením absolútnych členov činiteľov, dostaneme: $x^2\cdot x^5\cdot x^2=x^{2+5+2}=x^9$