Počítanie so zlomkami

V živote sa často stretávame so situáciou, keď je celok rozdelený na niekoľko rovnakých častí. Napríklad pizza, čokoláda, bomboniera s rovnakými cukríkmi, …

Matematika by mala poskytovať aparát, ktorý umožňuje počítať s takýmito časťami celku. Časť celku, či viacero rovnakých častí celku nazývame zlomok.

Zlomok je číslo v tvare $\hspace{10}\dfrac{a}{b}\hspace{10} a,b \in Z \hspace{15} b\neq 0$

$Z$ je množina celých čísel, $\in$ je znak patrí do množiny. Vyššie uvedený výraz možno prečítať $a, b$ sú celé čísla a $b$ sa nerovná nula.

Číslo nad zlomkovou čiarou nazývame čitateľ, číslo pod zlomkovou čiarou nazývame menovateľ, čiara medzi čitateľom a menovateľom je zlomková čiara.

Krátenie zlomku

Ak čitateľa i menovateľa predelíme tým istým číslom rôznym od nuly, hodnota zlomku sa nezmení. Nazývame to krátenie zlomku. Napríklad: $\dfrac{2}{4}=\dfrac{2\cdot{}1}{2\cdot{}2}=\dfrac{1}{2}$

Rozšírenie zlomku

Ak čítateľa i menovateľa vynásobíme tým istým číslom rôznym od nuly, hodnota zlomku sa nezmení. Nazývame to rozšírenie zlomku. Npríklad: $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot{}3}{4\cdot{3}}=\dfrac{9}   Sčítanie zlomkov   a) s rovnakými menovateľmi   Zlomky s rovnakým menovateľom sčítame tak, že menovateľa opíšeme a čitateľov sčítame  $ \dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} $  b) s rôznymi menovateľmi   Zlomky prevedieme na rovnakého menovateľa a potom postupujeme ako v prípade a)  $ \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}= \dfrac{a\cdot d}{b \cdot d} +\dfrac{c\cdot b}{d\cdot b}=\dfrac{a \cdot d+c \cdot b}{b \cdot d} $  Prvý zlomok sme rozšírili číslom d a druhý číslom b. Najjednoduchšie je previesť menovateľov na ich najmenší spoločný násobok, ale aj hore uvedený spôsob vedie k správnemu výsledku.   Mnemotechnickou pomôckou je krížové pravidlo, podľa nasledujúceho obrázku:   <figure class="wp-block-image size-full is-resized"><img src="https://evyuka.sk/wp-content/uploads/2023/04/kpravidlo.jpg" alt="" class="wp-image-3198" width="846" height="635"/><figcaption class="wp-element-caption">Prvého čitateľa vynásobime druhým menovateľom, druhého čitateľa prvým menovateľov, tieto výsledky sčítame a do menovateľa dáme súčin menovateľov.</figcaption></figure>   Odčítanie zlomkov   a) s rovnakými menovateľmi   Zlomky s rovnakým menovateľom odčítame tak, že menovateľa opíšeme a od prvého čitateľa odpočítame druhého čitateľa  $ \dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c} $  b) s rôznymi menovateľmi   Zlomky prevedieme na rovnakého menovateľa a potom postupujeme ako v prípade a)  $ \dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}= \dfrac{a\cdot d}{b \cdot d} -\dfrac{c\cdot b}{d\cdot b}=\dfrac{a \cdot d-c \cdot b}{b \cdot d} $  Násobenie zlomkov   Zlomky násobime tak, že čitateľa vynásobime čitateľom a menovateľa menovateľom.  $ \dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b \cdot d} $  Delenie zlomkov   Zlomky delíme tak, že druhý zlomok prevrátime (čitateľ sa stane menovateľom a naopak) a tieto zlomky vynásobime.  $ \dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}= \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} $  Ak budeme mať zložený zlomok, tak ide vlastne tiež o delenie zlomku zlomkom a postupujeme rovnako alebo rovno výnasobíme vonkajšie hodnoty a zapíšeme do čitateľa a vnútorné hodnoty a zapíšeme do menovateľa.  $ \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}= \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} $  Príklady  $ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 3}+ \dfrac{1\cdot 2}{3\cdot 2} =\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6} $ $ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 3}- \dfrac{1\cdot 2}{3\cdot 2} =\dfrac{3-2}{6}=\dfrac{1}{6} $ $ \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3}=\dfrac{1}{6} $ $ \dfrac{1}{2}: \dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{1}=\dfrac{3}{2}=1,5 $  Poznámka: Výsledok sme mohli nechať aj v tvare$ \dfrac{3}{2} $  $ \dfrac{2}{3}\cdot \left( \dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{7}\right)= \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2 \cdot 7+3\cdot 5 }{5\cdot 7 }= \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{29}{35}=\dfrac{58}{105} $  Čo je väčšie?$ \dfrac{1}{3} alebo \dfrac{2}{7} $  Riešenie 1: Prevedieme na spoločného menovateľa a zlomok, ktorý bude mať väčšieho čitateľa bude väčší.   Spoločný menovateľ je 21.$ \dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{21}\hspace{15} \dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{21} $teda$ \dfrac{1}{3}>\dfrac{2}{7} $  Riešenie 2: Zlomky rozšírime tak, že čitatelia budú rovnakí. Zlomok, ktorý bude mať menšieho menovateľa bude väčší.  $ \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6} $teda$ \dfrac{1}{3}>\dfrac{2}{7}$