Kedysi ste sa naučili riešiť lineárnu rovnicu s jednou neznámou. V živote či vo vede sa stretávame aj so zložitejšími problémami, keď neznáme môžu byť dve a viac. V tomto článku si ukážeme, ako možno riešiť sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prvú neznámu obvykle označíme x, druhú y, ale inak na označení nezáleží (vo fyzike ich napríklad označíme značkami fyzikálnych veličín).
Sústavu dvoch lineárnych rovníc možno riešiť tromi metódami:
- substitučnou
- sčítacou
- grafickou
Substitučná (dosadzovacia) metóda
Príklad 1:
Vyriešme sústavu rovníc:
Najprv jednu z rovníc upravíme tak, aby sme jednu neznámu vyjadrili pomocou druhej neznámej. Upravme prvú rovnicu:
Teraz do druhej rovnice namiesto x dosadíme -y.
Teraz dosadíme do vzťahu namiesto y hodnotu -2 a dostaneme:
Riešením tejto sústavy rovníc je x=2 a y=-2.
Aj v tomto prípade by sme mali urobiť skúšku správnosti. Tieto hodnoty dosadíme najprv do prvej a potom do druhej rovice.
Skúška správnosti nám vyšla, takže riešenie je správne.
Sčítacia metóda
Jednu z rovníc upravíme tak, aby po ich sčítaní alebo odčítaní jedna z premenných zmizla a dostaneme rovnicu s jednou neznámou. Keď ju vyčíslime, dosadíme jej hodnotu do jednej z rovníc a vypočítame druhú neznámu. Vyriešme touto metódou ten istý príklad:
Odpočítame od tejto rovnice prvú rovnicu
Dvojku dosadíme do prvej rovnice namiesto x, dostaneme:
Dostali sme ten istý výsledok. Riešením je x=2 a y=-2. Skúšku správnosti už robiť nebudeme, už sme ju urobili.
Grafická metóda
Obe rovnice upravíme tak, aby neznáma y bola vyjadrená pomocou x. Dostaneme dve funkčné závislosti. Keďže sú to lineárne rovnice, tak grafom týchto funkcií budú dve priamky. Riešením je potom priesečník týchto priamok. Z grafu odčítame súradnice bodu, v ktorom sa priamky pretli a tieto súradnice sú riešením sústavy rovníc.
Z grafickej metódy vyplýva, koľko riešení môže mať sústava dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi.
- Ak sú priamky rovnobežné, priamky sa nikde nepretnú a sústava nemá riešenie.
- Ak sú priamky nerovnobežné pretnú sa v jednom bode a sústava má jedno riešenie.
- Ak sú priamky totožné, majú nekonečne mnoho spoločných bodov a sústava má nekonečne mnoho rešení
Na nasledujúcom obrázku je naša úloha vyriešená graficky. Použil som google vyhľadávač. Najprv som y vyjadril pomocu x
Kedy ktorú metódu použiť?
Grafická metóda je názorná, ale nemusí byť presná, pri zostrojení grafov sa vždy dopustíme nejakej nepresnosti. Je vhodná na zistenie koľko riešení sústava má.
Substitučnú alebo sčítaciu použijeme podľa toho, čo povedie rýchlejšie k riešeniu.
Vyriešte nasledujúce príklady (aspoň štyri)
Zvoľte si metódu, ktorá vám viac vyhovuje.
