Exponenciálne rovnice

20.4.2020MatematikaTibor Menyhért

Video s touto témou

Exponenciálna funkcia so základom väčším ako 1 je rastúca a so základom menším ako 1 a väčším ako 0 je klesajúca. To znamená:

$Ak\, a^x=a^y, \, potom\, x=y$ . (1)

alebo

$Ak\, a^x\ne a^y, \, potom\, x\ne y$ . (2)

Túto vlastnosť využijeme pri riešení exponenciálnych rovníc.

Príklad 1: Vyriešte rovnicu $\dfrac{1}{5^{2x-4}}=125$

Pravú stranu upravíme na mocninu 5: $125=5^3$

Pre ľavú stranu využijeme vzťah $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ .

Dostaneme: $5^{4-2x}=5^3$

Teraz využijeme vzťah (1). Riešenie exponenciálnej rovnice sa zmení na riešenie lineárnej rovnice:

$4-2x=3ň, /-3$

$1-2x=0\, /+2x$

$1=2x\, / :2$

$x=0,5$

Skúška:

$L: \dfrac{1}{5^{4-2x}}=\dfrac{1}{5^{4-2\cdot 0,5}}=\dfrac{1}{5^{-3}}=5^3=125$

$\underline{ L=P}$

Skúška správnosti vyšla. Riešením rovnice je $x=0,5$ .

Zhrnutie riešenia: Ak na ľavej aj pravej strane máme mocniny s rovnakým základom, riešime rovnicu, v ktorej sa majú rovnať exponenty. Ak nemáme rovnaký základ, nájdeme spoločný základ mocniny. V tomto príklade spoločným základom bolo číslo 5.

Príklad 2: Vyriešte $4^{x-2}=0,125$

Ako vyjadriť 0,125, ako mocninu nejakého čísla? Čo je spoločným základom? Môže to byť 4? $4^{-1}=\dfrac{1}{4}=0,25$

$4^{-2}=\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{16}=0,0625$

Zistili sme, že 4 to nie je. Číslo 4 je mocninou dvojky. $2^{-3}=\dfrac{1}{8}=0,125$

Pôvodnú rovnicu upravíme do tvaru:

$2^{2^{x-2}}=2^{-3}$

Použijeme vzťah $a^n^m=a^{n\cdot m}$ a dostaneme:

$2^{2\cdot(x-2)=2^{-3}$

Teraz stačí vyriešiť lineárnu rovnicu, v ktorej sa exponenty majú rovnať.

$2\cdot{x-2}=-3$

$2x-4=-3 // +4$

$2x=1 // :2$

$x=0,5$

Úlohy na riešenie:

Tu pribudne niekoľko úloh

print

Pridaj komentár Zrušiť odpoveď