Kombinácie

Príklad 1: Trieda má 20 žiakov, koľkými spôsobmi z nich možno vytvoriť týždenníkov.
Riešenie: Prvého týždenníka môžeme vybrať z 20 možností a druhého z 19, ale u týždenníkov neurčujeme, ktorý z nich je prvý alebo druhý týždenník, takže ak ako prvého týždenníka zvolíme pôvodne druhého týždenníka a naopak, je to stále tá istá voľba, takže Súčin 20 krát 19 musíme predeliť dvoma. Celkový počet možností je teda 190.

Príklad 2: V hre loto sa žrebuje 6 čísel plus dodatkové číslo zo 49 čísel. Aká je pravdepodobnosť, že hráč vyhrá jackpot, ak podal jeden tip?

Než budeme riešiť druhý príklad, zadefinujeme, čo je to kombinácia.

Kombinácia k-tej triedy z n-prvkov bez opakovania je výber k prvkov z n-prvkovej množiny, pričom nezáleží na poradí prvkov a prvky sa neopakujú.

Prvý aj druhý príklad boli príklady na kombinácie bez opakovania.

Možno dokázať, že pre kombinácie bez opakovania platí:

$C_k(n)=\dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$

Dôkaz: Kombinácia je v podstate to isté čo variácia, ale nezáleží na poradí prvkov, takže vyberáme napríklad iba najmenšie variácie, ak si prvky očíslujeme od jedna do n, tak vyberáme najmenšie prirodzené číslo, z čísel ktoré by vznikli z očíslovaní prvkov. Počet kombinácií je potom rovný počtu variácií deleno počet permutácií k-prvkovej množiny.
Počet variácií je $V_k(n)=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ .
Počet permutácií k prvkovej množiny je $P(k)=k!$ . Keď tieto dve čísla predelíme, dostaneme hore uvedený vzorec.