Riešenia (permutácie s opakovaním)

Úlohy

Koľko permutácií s opakovaním možno vytvoriť z písmen slova OKOLO?
V krabičke je 10 farbičiek: 4 červené, 3 modré, 2 žlté a jedna zelená. Koľkými spôsobmi ich môžeme usporiadať, ak farbičky rovnakej farby nevieme rozlíšiť?
Osem študentov sa môže ubytovať v troch izbách, pričom dve sú trojposteľové a jedna dvojposteľové. Koľkými spôsobmi sa môžu študenti ubytovať?
Šesťciferný kód na trezore sa skladá z rovnakých číslic ako číslo 926002 a zlodej to vie. Ako najdlhšie by zlodejovi trvalo, než by trezor otvoril, ak nastavenie jednej kombinácie číslic trvá 5 sekúnd?
Koľko rôznych aj bezvýznamových slov možno zostaviť zo slova MATEMATIKA, ak sa použijú všetky písmená?

O sa opakuje 3 krát, K a L raz. $P'_{3,1,1}=\dfrac{5!}{3!\cdot 1! \cdot 1!}=5.4=20$
Zo slova OKOLO môžene vytvoriť 20 permutácií s opakovaním.
$P'_{4,3,2,1}(10)=\dfrac{10!}{4!\cdot \3! \cdot 2! \cdot 1!}=\dfrac{10.9.8.7.6.5}{6.2}=12600$
Farbičky môžeme usporiadať 12600 spôsobmi.
Keďže nás nezaujíma, ktorý študent spí na ktorej posteli ale iba na ktorej izbe, na postele v rovnakej izbe sa môžeme dívať ako na rovnaké objekty. Potom počet permutácií s opakovaním je: $P_{3,3,2}(8)=\dfrac{8!}{3!\cdot 3! \cdot 2!}=\dfrac{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{3! \cdot 2!}=8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2=560$
Existuje 560 možností rozdelenia študentov do izieb.
9 a 6 sú raz, 2 a 0 dvakrát. Počet kombinácií s opakovaním je:
$P_{2,2,1,1}(6)=\dfrac{6!}{2! \cdot 2!}=\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{2}=180$
$t=5\,s.180=900\, s=15\,min$
Zlodejovi by trvalo najviac 15 minút, než by otvoril trezor.
V slove MATEMATIKA sa 3x vyskytuje A, 2x M a T 1x E,I,K.
$P_{3,2,2,1,1,1}(10)=\dfrac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot }=10 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5=151 200$
Slov, ktoré možno vytvoriť zo všetkých písmen slova matematika je 151200.

One Comment

Podklady pre výuku matematiky, fyziky a informatiky