november 2019

Riešenia (permutácie s opakovaním)

29.11.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért One Comment

Úlohy

Koľko permutácií s opakovaním možno vytvoriť z písmen slova OKOLO?
V krabičke je 10 farbičiek: 4 červené, 3 modré, 2 žlté a jedna zelená. Koľkými spôsobmi ich môžeme usporiadať, ak farbičky rovnakej farby nevieme rozlíšiť?
Osem študentov sa môže ubytovať v troch izbách, pričom dve sú trojposteľové a jedna dvojposteľové. Koľkými spôsobmi sa môžu študenti ubytovať?
Šesťciferný kód na trezore sa skladá z rovnakých číslic ako číslo 926002 a zlodej to vie. Ako najdlhšie by zlodejovi trvalo, než by trezor otvoril, ak nastavenie jednej kombinácie číslic trvá 5 sekúnd?
Koľko rôznych aj bezvýznamových slov možno zostaviť zo slova MATEMATIKA, ak sa použijú všetky písmená?

Permutácie

29.11.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Permutácia je usporiadanie všetkých prvkov množiny.

Permutácia je špeciálny prípad variácie. Je to variácia n-tej triedy z n prvkovej množiny. Ak sa prvky v množine neopakujú:

$P(n)=V_n(n)=\dfrac{n!}{(n-n)!}=\dfrac{n!}{0!}=\dfrac{n!}{1}=n!$

Počet permutácií n-prvkovej množiny bez opakovania teda je: $P(n)=n!$

Continue reading →

Variácie

25.11.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Príklad: Šachového turnaja sa zúčastnilo 8 hráčov. Koľko rôznych umiestnení mohlo byť na prvých troch miestach?

Riešenie: Na prvom mieste mohlo byť 8 hráčov, ak už na prvom mieste máme hráča, na druhom môže byť 7 hráčov a na treťom už len 6, lebo dvaja už sú na prvom a druhom. Počet možných umiestnení na prvých troch miestach je teda 8.7.6=336.

Príklad: Trieda má 20 žiakov. Žiaci si idú voliť triedny výbor: predsedu, podpredsedu a pokladníka. Koľko rôznych zostáv môže mať výbor triedy.

Riešenie: Za predsedu môže byť zvolených 20 žiakov, za podpredsedu už len 19, lebo predseda nemôže byť aj podpredsedom a za pokladníka 18, lebo pokladník nemôže byť zároveň predsedom alebo podpredsedom. Počet rôznych zostáv výboru je 20.19.18=6840.

Oba vyššie uvedené príklady boli príkladmi variácií bez opakovania, keď každý prvok sa vo výbere mohol vyskytnúť iba raz a záležalo na poradí prvkov.

Variácia k-tej triedy z n prvkovej množiny je výber k prvkov z n prvkov.

Ak sa prvky nemôžu opakovať, je to variácia bez opakovania.

Ak sa prvky opakovať môžu, je to variácia s opakovaním.

Continue reading →

Kombinatorika

25.11.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Kombinatorika je matematická disciplína, ktorá sa zaoberá kombinovaním rôznych súborov objektov. Napr. Koľko je možných rôznych poradí na prvých troch miestach, ak je súťažiacich 10? Aká je pravdepodobnosť jackpotu v lotte? Ako spravodlivo nasadiť družstvá v turnaji? Ako zostaviť rozvrh školy, aby vyhovoval daným kritériám?

Výsledky kombinatoriky sa využívajú napríklad pri výpočtoch pravdepodobnosti.

Príklad: Koľko existuje dvojciferných čísel, v ktorých sa číslice neopakujú?

Continue reading →

Funkcia

19.11.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Funkcia na množine D je ľubovoľný predpis, ktorý každému prvku množiny D priradí práve jedno reálne číslo. Funkciu označujeme malým písmenom.

Prvky množiny D nazývame nezávislá premenná, ich obrazy sú závislá premenná. Nezávislú premennú obvykle označujeme x a závislú y, ale môžeme zvoliť také označenie, aby bolo zrejmé čo tieto premenné označujú. napríklad $s=v.t$ , kde $s$ je dráha, $v$ je konštantná alebo priemerná rýchlosť a $t$ je čas.

Continue reading →

Logické spojky (logické operácie)

19.11.2019MatematikalogikaTibor Menyhért Leave a comment

Výroky môžeme spájať logickými spojkami. Spojením dvoch elementárnych výrokov vznikne zložený výrok. Logické spojky predstavujú operátory logických operácií.

negácia – pred pôvodný výrok napíšeme nie je pravda že, tiež môžeme napísať predponu ne-. Negáciu výroku A môžeme označiť A‘ alebo použiť operátor $\neg$ . Pri programovaní alebo v exceli používame NOT.
konjukcia – a, ako operátor sa namiesto a môžu použiť $\wedge$ , &. Pri programovaní alebo v exceli AND
disjunkcia – alebo, ako operátor sa namiesto alebo používa $\vee$ . Pri programovaní a v exceli OR.
exkluzívna disjunkcia – vylučujúce alebo, buď … alebo. Ako operátor použijeme pri programovaní a exceli XOR, pri matematickom zápise môžeme použiť $\oplus$ .
implikácia – ak A potom B, ak A tak B, z A vyplýva B, A implikuje B. Ako operátor používame $A\implies B$
ekvivalencia – A práve vtedy a len vtedy ak B. Ako operátor používame $A\iff B$

Continue reading →

Logika

18.11.2019MatematikalogikaTibor Menyhért Leave a comment

Logika je náuka, skúmajúca, ako správne uvažovať.

Logika sa používa vo všetkých vedeckých disciplínach, ale aj v bežnom živote.

Matematická logika je matematická disciplína, ktorá skúma logické výroky a logické súdy z formálneho hľadiska. Študuje pravdivosť zložených výrokov na základe pravdivosti / nepravdivosti elementárnych výrokov.

Logický výrok alebo len výrok je oznamovacia veta, o ktorej vieme rozhodnúť, či je pravdivá alebo nepravdivá.

Continue reading →

Operácie s mnohočlenmi

14.11.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Z mnohočlenmi môžeme robiť rovnaké operácie ako s číslami. Majme dva mnohočleny: $A(x)\, a\, B(x)$

sčítanie: $A(x)+B(x)$
odčítanie: $A(x)-B(x)$
násobenie: $A(x)\cdot B(x)$
delenie: $A(x) : B(x)$

Continue reading →

Mnohočleny

14.11.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Mnohočlen alebo polynóm n-tého stupňa je algebraický výraz v tvare:

$P(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_2 \cdot x^2+a_1\cdot x+a_0$

kde $a_i$ sú číselné konštanty a $x$ je premenná. Exponenty pri premennej sú prirodzené čísla, konštanty sú reálne čísla a $a^n\neq 0$ .

Poznámka: termín polynóm pochádza z gréčtiny, kde poly je mnoho a nóm je člen.

Polynóm je napríklad: $3x^2+1$ alebo $7x^3+x^2-1$

Polynóm môže obsahovať aj viacero premenným napríklad:

$R(x,y)=3x^2y+2xy+y^2-1$

Continue reading →

Výrazy

12.11.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Algebraický výraz je zápis skladajúci sa z čísel a z písmen (tie označujú premenné), ktoré sú pospájané znakmi matematických operácií, ako sú napríklad sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocnenie, odmocnenie, goniometrické funkcie, logaritmy, absolútna hodnota, atď. Môžu obsahovať aj zátvorky, ktoré určujú poradie (prioritu) vykonávania naznačených operácií. Výrazy sú napríklad zápisy: $a^2 + 1,\, 4\sin x,\,\sqrt{a} + 2$

Ak namiesto premenných zadáme konkrétne číselné hodnoty, dostaneme hodnotu algebraického výrazu.

Continue reading →

Meranie elektrických veličín

12.11.2019FyzikaTibor Menyhért Leave a comment

Elektrický prúd meriame ampérmetrom.

Elektrické napätie meriame voltmetrom.

Elektrický odpor môžeme merať dvoma spôsobmi: ohmmetrom alebo odmeriame napätie na koncoch zariadenia a prúd prechádzajúci zariadením a elektrický odpor vypočítame z Ohmovho zákona: $R=\dfrac{U}{I}$