Úloha: Vypíš všetky delitele čísla 60.

Postup: Začneme jednotkou, potom skúšame dvojku, trojku … až kým nedôjdeme po číslo, ktorého súčin so sebou samým je väčší než skúmané číslo. Ďalej už nemá zmysel ísť, lebo čísla, ktoré by sme po delení dostali, by boli menšie, než toto hraničné číslo a tieto menšie čísla sme už otestovali.

Deliteľnosť 2

Číslo je deliteľné 2, ak na mieste jednotiek je párna číslica: 0, 2, 4, 6, 8

Deliteľnosť 3

Číslo je deliteľné 3, ak jeho ciferný súčet (súčet jeho číslic) je deliteľný 3.

Príklad: 123 – 1+2+3=6, 6 je deliteľné 3, číslo 123 je deliteľné 3.

Deliteľnosť 4

Číslo je deliteľné 4, ak posledné dvojčíslie je deliteľné 4.

Deliteľnosť 5

Číslo je deliteľné 5, ak posledná číslica je 0 alebo 5.

1. Uprav pomery na základný tvar:

Tak ako v obyčajnom živote slušnosť káže dať prednosť pri vchádzaní do miestnosti alebo pri vychádzaní:

• žiak – učiteľovi
• mladší – staršiemu
• muž – žene
• podriadený – nadriadenému

aj pri počítaní matematických príkladov majú niektoré matematické operácie prednosť pred inými matematickými operáciami (majú vyššiu prioritu).

Dôkazy sú rozširujúcim a prehlbujúcim učivom, pre žiakov, ktorý sa hlbšie zaujímajú o matematiku. Nebudú predmetom skúšania.

Číslo je deliteľom čísla , ak číslo možno zapísať, ako súčin čísla a nejakého čísla :

Aj číslo je deliteľom čísla , ak je .

Možno to vyjadriť aj inak:

Číslo je deliteľom čísla , ak ho delí bezo zvyšku.

Rozpíšme všetky možné vyjadrenia čísel od 1 do 20, ako súčinu dvoch čísel:

Zelenou farbou som označil čísla, ktoré majú iba dva delitele. Čiernou farbou sú napísané čísla, ktoré majú viac než dva delitele. Modrou farbou som označil číslo , ktoré má len jedného deliteľa.

Prvočíslo je číslo, ktoré má dva delitele jednotku a samé seba.

Zložené číslo je číslo, ktoré má viac než dva delitele.

Veta: Číslo dva je jediné párne prvočíslo.

Dôkaz: Ak by číslo n bolo párne číslo väčšie ako dva, tak by malo delitele 1 a samé seba a navyše aj číslo 2.

Veta: Každé zložené číslo možno vyjadriť ako súčin prvočísel.

Dôkaz: Ak je n zložené číslo, možno ho vyjadriť ako súčin dvoch čísel väčších ako 1. . Tieto čísla sú buď prvočísla, alebo sú to znova zložené čísla. Ak sú to zložené čísla, možno ich vyjadriť ako a . Tieto nové činitele sú aspoň dvakrát menšie, než pôvodné. Po konečnom počte krokov, dospejeme k číslu 2, ktoré je prvočíslom, alebo to už neboli zložené čísla.

Využitie prvočísel

• V súčasnosti sa prvočísla využívajú hlavne v kryptografii. Kryptografia je veda o šifrovaní a dešifrovaní. Ak máme zložené číslo, ktoré je súčinom dvoch veľmi veľkých prvočísel, dá sa správa zakódovať verejným kľúčom, ale dekódovať sa dá len súkromným kľúčom. Aj veľmi výkonné počítače pri dostatočnej veľkosti prvočísel by pracovali desiatky či stovky rokov, kým by odhalili súkromný kľúč.
• V informatike sa prvočísla používajú v hashovacích tabuľkách. Je to také ukladanie informácií, aby sme veľmi rýchlo našli informácie v databáze.
• V matematike možno pomocou prvočísel hľadať dokonalé čísla.
  Dokonalé číslo je číslo, ktorého súčet vlastných deliteľov je rovný dokonalému číslu. Napríklad:
  6 má vlastné delitele 1,2,3 a 6=1+2+3
  28=1,2,4,7,14 a 28=1+2+4+7+14
  Vlastný deliteľ je taký deliteľ, ktorý je menší než číslo ktoré delíme.
  Starí Gréci prikladali dokonalým číslam magické vlastnosti.

Po kliknutí na ikonu zelenej korytnačky sa spustí prostredie Imagine.

Hore sa zobrazí menu: Súbor Úpravy Ukázať Nastavenia Stránka Pomocník

Pod menu sú rôzne tlačítka. Ďalej nasleduje pracovná plocha, po ktorej sa pohybuje korytnačka (korytnačky).

Potom je pás, v ktorom je zoznam príkazov, ktoré sme korytnačke zadali a celkom dole je príkazový riadok, do ktorého zadávame príkazy korytnačke.

V tomto článku nájdete zoznam príkazov jazyka Imagine.

Continue reading →

Ak máme tri neznáme a všeobecne n neznámych, aby bolo riešenie jednoznačné, potrebujeme aspoň tri rovnice a všeobecne n rovníc. Ak máme tri neznáme, v matematike ich obvykle označíme písmenami x, y, z. Ak je neznámych viac, označujeme ich pomocou dolného indexu . Sústavu troch lineárnych rovníc riešime podobne, ako sústavu dvoch lineárnych rovníc substitučnou metódou.

Continue reading →

Kedysi ste sa naučili riešiť lineárnu rovnicu s jednou neznámou. V živote či vo vede sa stretávame aj so zložitejšími problémami, keď neznáme môžu byť dve a viac. V tomto článku si ukážeme, ako možno riešiť sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prvú neznámu obvykle označíme x, druhú y, ale inak na označení nezáleží (vo fyzike ich napríklad označíme značkami fyzikálnych veličín).

Continue reading →

Nižšie sú naskenované správne odpovede testu k množinám. Poradie otázok a odpovedí bolo u každého študenta individuálne. Prečo sú správne uvedené odpovede:

Continue reading →

Video s touto témou

Exponenciálna funkcia so základom väčším ako 1 je rastúca a so základom menším ako 1 a väčším ako 0 je klesajúca. To znamená:

. (1)

alebo

. (2)

Túto vlastnosť využijeme pri riešení exponenciálnych rovníc.

Príklad 1: Vyriešte rovnicu

Pravú stranu upravíme na mocninu 5:

Pre ľavú stranu využijeme vzťah .

Dostaneme:

Teraz využijeme vzťah (1). Riešenie exponenciálnej rovnice sa zmení na riešenie lineárnej rovnice:

Skúška:

Skúška správnosti vyšla. Riešením rovnice je .

Zhrnutie riešenia: Ak na ľavej aj pravej strane máme mocniny s rovnakým základom, riešime rovnicu, v ktorej sa majú rovnať exponenty. Ak nemáme rovnaký základ, nájdeme spoločný základ mocniny. V tomto príklade spoločným základom bolo číslo 5.

Príklad 2: Vyriešte

Ako vyjadriť 0,125, ako mocninu nejakého čísla? Čo je spoločným základom? Môže to byť 4?

Zistili sme, že 4 to nie je. Číslo 4 je mocninou dvojky.

Pôvodnú rovnicu upravíme do tvaru:

Použijeme vzťah a dostaneme:

Teraz stačí vyriešiť lineárnu rovnicu, v ktorej sa exponenty majú rovnať.

Úlohy na riešenie:

1. Tu pribudne niekoľko úloh

Zoom je aplikácia, ktorá umožňuje spustiť videokonferenciu, v našich podmienkach online vyučovanie.

Continue reading →

Test množiny. Riešenia

Úloha č. 1. Čísla – na druhej strane sú aj riešenia

• I. E
• I. NŠ
• I. CM, CV
• II. CM, CV
• II. E, F
• III. CM, CV
• III. E
• IV. CM, CV, VS

Jeden robotník vykope 20 metrový kanál za 8 hodín. Za koľko hodín ho vykopú dvaja robotníci, ak sú rovnako výkonní?

Dvaja robotníci kanál vykopú dvakrát rýchlejšie, takže ho vykopú za 4 hodiny.

Auto išlo priemernou rýchlosťou 60 km za hodinu, z obce Pršany do obce Dažďany došlo za 1 hodinu. Na bicykli cyklista dosahuje na tej istej trati rýchlosť 20 km za hodinu, ako dlho mu cesta potrvá?

Cyklista ide trikrát pomalšie, cesta mu bude trvať trikrát tak dlho. Trasu prejde za tri hodiny.

Oba vyššie uvedené príklady boli príklady nepriamej úmernosti.

Nepriama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak vzťah medzi nimi možno vyjadriť vzorcom: , kde k je konštanta úmernosti a

Continue reading →

Keď nakupujem rožky v obchode a jeden rožok stojí 8 centov, výsledná cena, ktorú zaplatím sa dá vyjadriť vzťahom: , kde c je cena a r je počet rožkov.

Ak idem na bicykli konštantnou rýchlosťou 16 km za hodinu, dráha ktorú prejdem za nejaký čas sa dá vyjadriť vzťahom , kde s je dráha, a t je čas.

Poznámka: 15 minút je štvrť hodiny.

Hore uvedené vzťahy boli príklady priamej úmernosti.

Priama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak hodnotu závislej premennej od nezávislej premennej možno vyjadriť vzorcom v tvare: , kde . Konštanta priamej úmernosti k, je kladné reálne číslo.

Continue reading →

Majme stanovený systém podmienok (napr. máme pravidelnú hraciu kocku, ktorej steny sú označené číslami 1, 2, . . . , 6). Proces (dej), ktorý môže nastať pri realizácii týchto podmienok (napr. hod hracou kockou) nazývame pokus. Vyžadujeme, aby každý pokus mal vlastnosť hromadnosti, t. j. aby sme ho mohli teoreticky ľubovoľne krát opakovať. Výsledok tohto procesu nie je jednoznačný, je náhodný, nazývame ho náhodným javom alebo náhodnou udalosťou (napr. padnutie šestky). Náhodný jav je výsledok pokusu. Množinu všetkých navzájom sa vylučujúcich výsledkov pokusu označujme gréckym písmenom . Jej prvky nazývame elementárne udalosti a označujeme ich písmenom , t.j. . Podmnožiny množiny všetkých možných výsledkov pokusu nazývame náhodnými udalosťami.

Continue reading →

Niektoré javy sú také, že vieme dopredu s absolútnou istotou povedať, čo sa stane za daných okolností:

• ak zdvihneme teleso a pustíme ho, vieme že spadne na zem
• ak priblížime k sebe dva magnety, začnú sa priťahovať alebo odpudzovať, podľa toho, ktoré póly magnetov sú bližšie k sebe
• ak voda dosiahne 100 stupňov celzia pri normálnom tlaku, začne vrieť
• ak teplota klesne pod 0 stupňov celzia pri normálnom tlaku, zmrzne

Iné javy sú také, že nevieme s istotou povedať čo nastane, ale vieme že nastane niektorá z možností:

• hodíme kocku, padne jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale dopredu nevieme, ktoré z nich to bude
• hodíme mincu, padne rub alebo líc
• meteorológovia namerajú údaje v atmosfére a síce predpovedia, aké bude počasie, ale čas od času im predpoveď nevyjde
• voda síce pri 100 stupňoch celzia začne vrieť, ale nevieme dopredu povedať, či konkrétna molekula vody bude ešte v hrnci o 5 sekúnd

Prvú triedu nazývame deterministické javy. Druhú triedu javov nazývame náhodné javy.

Continue reading →

V praxi neraz budete tovar preceňovať. Buď ho o nejaké percentá zdražíte alebo zlacníte, alebo zmenu vypočítate pripočítaním alebo odpočítaním nejakej čiastky a spätne budete potrebovať zistiť o koľko percent ste cenu zvýšili alebo znížili.

Zlacnenie: Ak tovar chceme zlacniť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca: kde je nová cena a je pôvodná cena.

Príklad: Tovar stoji 70 euro, zlacníme ho 20%. Aká bude nová cena?

Nová cena bude 56 euro.

Zdraženie: Ak tovar chceme zdražiť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca kde je nová cena a je pôvodná cena.

Continue reading →

Na základnej škole ste veľkosť uhla merali v stupňoch, kde celý kruh mal 360 stupňov, pravý uhol mal 90 stupňov, rovnostranný trojuholník mal 60 stupňové uhly, …

Rozdelenie kruhu na 360 stupňov zaviedli už Babylončania. Vo fyzike sa ukázalo užitočné merať uhly v radiánoch.

Radián je uhol, ktorý s vrcholom v strede kružnice vytne na kružnici oblúk s dĺžkou rovnou dĺžke polomeru. Značka rad.

Obvod kruhu počítame podľa vzorca: , potom 360 stupňom zodpovedá

Stupne	Radiány
0
30
45
60
90
120
180
270
360

1. Koľko percent je 30 zo 120?
   • 
2. Koľko percent je 25 z 80?
   • 
3. Koľko percent je 15 zo 40?
   • 
4. Koľko percent je 8 z 24?
   • 
5. Ak je základ 400, koľko je 25%?
   • z=400, p=25, c =?
   • 
   • 
   • 
   • 
   • 25 % zo 400 je 100
6. Ak je základ 280, koľko je 30%?
   • 100% ….. 280
   • 1% ………..2,8
   • 30% ………30 x 2,8= 84
   • 30% z 280 je 84
7. Ak je základ 90, koľko je 47%?
   • 100% ………. 90
   • 1% …………… 0,9
   • 47% …………47 x 0,9=42,3
   • 47% z 90 je 42,3
8. Ak je základ 333, koľko je 50%?
   • 50% je polovica, 333:2=166,5
   • 50% z 333 je 166,5
9. Ak je 10% 7, koľko je základ?
   • 
   • z= \dfrac{c}{p}\cdot 100
   • z= \dfrac{7}{10}\cdot 100=70
   • Ak je 10% 7, potom je základ 70 .
10. Ak je 33% 99, koľko je základ?
    • 33% ………. 99
    • 1 % ……….. 99:33=3
    • 100% ……..3.100=300
    • Ak je 33% 99, základ je 300.
11. Ak je 75% 90, koľko je základ?
    • 75% …… 90
    • 1% ……… 90:75=1,2
    • 100% ….. 1,2 x 100=120
    • Ak je 75% 90, základ je 120.
12. Ak je 13% 26, koľko je základ?
    • 13% ……… 26
    • 1% ……….. 26:13=2
    • 100% ……. 2 x 100=200
    • Ak je 13% 26, základ je 200.
13. Po zlacnení o 20% televízor stoji 400 euro. Koľko stál pred zlacnením?
    • Ak televízor zlacnel o 20%, jeho aktuálna cena je 80% pôvodnej ceny.
    • 80%……400
    • 1% ……..400:80=5
    • 100%…..5 x 100=500
    • Televízor pred zlacnením stál 500 euro.
14. Po zlacnení o 25% stojí práčka 300 euro. Koľko stála pred zlacnením?
    • 100-25=75. Aktuálna cena je 75% pôvodnej ceny.
    • 75%…….300
    • 1%……….300:75=4
    • 100%…..4.100=400
15. Po zdražení o 10% stojí auto 7700 euro. Koľko stálo pôvodne?
    • 100+10=110. Nová cena je 110% p;vodnej ceny.
    • 110%……7700
    • 1%………..7700:110=70
    • 100%……70.100=7000
16. Pred zdražením stál lístok MHD 60 centov, po zdražení stojí 90 centov. Koľko percentné zdraženie to bolo?
    • 100%…….60
    • 1%………..60:100=0,6
    • zdraženie je 90-60=30
    • 30:0,6=50
    • Zdraženie lístkov bolo 50%.
17. Mesačník na MHD stál 20 euro, po zdražení stojí 25 euro. Koľko percentné zdraženie to bolo?
    • 100%…………20
    • 1%…………….0,20
    • zdraženie 25-20=5
    • 5:0,2=25
    • Zdraženie mesačníkov bolo 25%.
18. Pred zdražením som jazdil mesačne priemerne 25 krát s MHD, teraz jazdím o 40% menej často. O koľko odo mňa získa na tržbách dopravný podnik viac alebo menej za celý rok oproti minulosti?
    • Rok má 12 mesiacov, pôvodne som minul 12.25.0,6=180 euro
    • 25.0,6=15 jázd mesačne po zdražení
    • ročne 12.15.0,9=162 euro
    • 180-162=18
    • Dopravný podnik odo mňa získa ročne o 18 euro menej ako pred zdražením.

Neraz sa stáva, že potrebujeme porovnať dva či viac objektov rovnakého druhu z hľadiska ich štruktúry, pričom objekty nie sú rovnako veľké. Majme dve školy, na jednu chodí 400 žiakov z toho 100 dievčat, na druhú 600 žiakov z toho 120 dievčat. Hoci na druhú školu chodí v absolútnej hodnote dievčat viac, relatívne ich tam chodí menej. Relatívny počet dievčat na oboch školách možno vyjadriť zlomkami:

a

Keď porovnávame relatívne počty, stalo sa zvykom, že relatívny počet prevedieme na zlomok s menovateľom 100 a aby sme nemuseli písať zlomok píšeme znak %.

Hore uvedené zlomky potom prejdú do tvaru a .

Znak % čítame ako percento, názov pochádza z latinského per cento znamenajúce na sto podobne ako jeden cent je stotina eura.

Continue reading →

Počet kombinácií bez opakovania sme vyjadrili vzorcom:

Kombinačné číslo zapisujeme ako , čítame ako n nad k a jeho hodnotu vypočítame rovnako ako počet kombinácií bez opakovania:

Kombinačné čísla sa vyskytujú nielen v kombinatorike, ale aj pri iných matematických úlohách. Napríklad koeficienty pri rozpísaní mocniny usporiadané zostupne podľa exponentov pri a.