Matematika

Funkcia

Matematika Leave a comment

Funkcia na množine D je ľubovoľný predpis, ktorý každému prvku množiny D priradí práve jedno reálne číslo. Funkciu označujeme malým písmenom.

Prvky množiny D nazývame nezávislá premenná, ich obrazy sú závislá premenná. Nezávislú premennú obvykle označujeme x a závislú y, ale môžeme zvoliť také označenie, aby bolo zrejmé čo tieto premenné označujú. napríklad s=v.t, kde s je dráha, v je konštantná alebo priemerná rýchlosť a t je čas.

Continue reading →

Logické spojky (logické operácie)

Matematika Leave a comment

Výroky môžeme spájať logickými spojkami. Spojením dvoch elementárnych výrokov vznikne zložený výrok. Logické spojky predstavujú operátory logických operácií.

  • negácia – pred pôvodný výrok napíšeme nie je pravda že, tiež môžeme napísať predponu ne-. Negáciu výroku A môžeme označiť A‘ alebo použiť operátor \neg. Pri programovaní alebo v exceli používame NOT.
  • konjukcia – a, ako operátor sa namiesto a môžu použiť \wedge, &. Pri programovaní alebo v exceli AND
  • disjunkcia – alebo, ako operátor sa namiesto alebo používa \vee. Pri programovaní a v exceli OR.
  • exkluzívna disjunkcia – vylučujúce alebo, buď … alebo. Ako operátor použijeme pri programovaní a exceli XOR, pri matematickom zápise môžeme použiť \oplus.
  • implikácia – ak A potom B, ak A tak B, z A vyplýva B, A implikuje B. Ako operátor používame A\implies B
  • ekvivalencia – A práve vtedy a len vtedy ak B. Ako operátor používame A\iff B

Continue reading →

Logika

Matematika Leave a comment

Logika je náuka, skúmajúca, ako správne uvažovať.

Logika sa používa vo všetkých vedeckých disciplínach, ale aj v bežnom živote.

Matematická logika je matematická disciplína, ktorá skúma logické výroky a logické súdy z formálneho hľadiska. Študuje pravdivosť zložených výrokov na základe pravdivosti / nepravdivosti elementárnych výrokov.

Logický výrok alebo len výrok je oznamovacia veta, o ktorej vieme rozhodnúť, či je pravdivá alebo nepravdivá.

Continue reading →

Mnohočleny

Matematika Leave a comment

Mnohočlen alebo polynóm n-tého stupňa je algebraický výraz v tvare:

P(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_2 \cdot x^2+a_1\cdot x+a_0

kde a_i sú číselné konštanty a x je premenná. Exponenty pri premennej sú prirodzené čísla, konštanty sú reálne čísla a a^n\neq 0.

Poznámka: termín polynóm pochádza z gréčtiny, kde poly je mnoho a nóm je člen.

Polynóm je napríklad: 3x^2+1 alebo 7x^3+x^2-1

Polynóm môže obsahovať aj viacero premenným napríklad:

R(x,y)=3x^2y+2xy+y^2-1

Continue reading →

Výrazy

Matematika Leave a comment

Algebraický výraz je zápis skladajúci sa z čísel a z písmen (tie označujú premenné), ktoré sú pospájané znakmi matematických operácií, ako sú napríklad sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocnenie, odmocnenie, goniometrické funkcie, logaritmy, absolútna hodnota, atď. Môžu obsahovať aj zátvorky, ktoré určujú poradie (prioritu) vykonávania naznačených operácií. Výrazy sú napríklad zápisy: a^2 + 1,\, 4\sin x,\,\sqrt{a} + 2

Ak namiesto premenných zadáme konkrétne číselné hodnoty, dostaneme hodnotu algebraického výrazu.

Continue reading →

Prevod odmocnín na mocniny

Matematika Leave a comment

Odmocňovanie je opačná operácia k umocňovaniu. \sqrt[n]{a^n}=a.

Opačnou operáciu k sčítaniu je odčítanie a zistili sme, že odčítanie sa dá previesť na sčítanie. K číslu pripočítame záporné číslo:

a-b=a+(-b)

Podobne delenie je opačnou operáciu k násobeniu a zistili sme, že delenie sa dá previesť na násobenie: a:b=a\cdot \dfrac{1}{b}

Analogicky by mohlo platiť, že by sme nejako mohli previesť odmocňovanie na umocňovanie.

Continue reading →

Odmocniny

Matematika Leave a comment

Druhá odmocnina z a je také číslo b pre ktoré platí:

a=b \cdot b označujeme ho b= \sqrt a

Odmocňovanie je opačná operácia k umocňovaniu, takže platí:

\sqrt { a^2 }=a

Podobne možno zadefinovať tretiu odmocninu:

Tretia odmocnina z a je také číslo b pre ktoré platí:

a=b \cdot b \cdot b označujeme ho b= \sqrt[3]{a}

Všeobecne: n-tá odmocnina z a je také číslo b pre ktoré platí:

a=b^n označujeme ho b= \sqrt[n]{a}

Platí: \sqrt[n]{a^n}=a

Continue reading →

Mocniny čísla desať. Zápis veľmi veľkých a veľmi malých čísel

Matematika Leave a comment

Mocniny čísla 10:

10^0=1\hspace{15}10^1=10 \hspace{15} 10^2=100 \hspace{15} 10^3=1000 \hspace{15} 10^4=10000

10^ 5=100000 \hspace{15} 10^ 6=1000000

10^{-1}=0,1 \hspace{15} 10^{-2}=0,01 \hspace{15} 10^{-3}=0,001

Počítame v desiatkovej sústave. Čislo 3456 možno zapísať v tvare:

3456=3\cdot 1000+ 4\cdot 100+5 \cdot 10+ 6\cdot 1

Čísla 1, 10, 100, 1000 sú mocniny čísla 10, takže toto číslo môžeme zapísať aj v tvare:

3456=3\cdot 10^3+ 4\cdot 10^2+5 \cdot 10^1+ 6\cdot 10^0

Podobne aj desatinné čísla môžeme zapísať ako súčet mocnín čísla desať:

0,5607=5\cdot 10^{-1}+ 6\cdot 10^{-2} +0 \cdot 10^{-3}+ 7\cdot 10^{-4}

Niekedy spracujeme s veľmi veľkými alebo s veľmi malými číslami. Často je pohodlnejšie takéto čísla zapísať v tvare súčinu nejakého čísla a mocniny desiatky. Napríklad číslo: 1 235 000 000 – jedna miliarda 235 miliónov možno zapísať takto:

123500000=1,235 \cdot 10^{9 }

Alebo číslo 0,000000005627=5,627 \cdot 10^{-9}

Continue reading →

Mocniny

Matematika Leave a comment

Už na základnej škole ste sa stretli s druhou a treťou mocninou a so zovšeobecnením pre umocňovanie na ľubovolné prirodzené číslo.

Druhá mocnina: a^2=a\cdot a

Druhu mocninu ste používali napríklad pri výpočte obsahu štvorca a kruhu a pri Pytagorovej vete.

Obsah štvorca so stranou a: S=a^2

Obsah kruhu s polomerom r: S=\pi r^2

Pytagorova veta: c^2=a^2+b^2

Tretia mocnina: a^3=a\cdot a \cdot a

Tretiu mocninu ste používali napríklad pri výpočte objemu kocky a objemu gule.

Objem kocky so stranou a: V=a^3

Objem gule s polomerom r: V=\dfrac{4}{3}\pi r^3

n-tá mocnina

Zovšeobecnením môžeme zaviesť mocninu na n:

a^n=a_1\cdot a_2\cdot ... \cdot a_n,\, kde\, a_1=a_2=...=a_n

Súčin n rovnakých činiteľov nazývame n-tá mocnina.

Pravidlá pre počítanie s mocninami

Možno dokázať nasledujúce pravidlá pre počítanie s mocninami:

  1. a^n \cdot a^m= a^{m+n}
  2. a^n : a^m= a^{m-n}
  3. (a^m)^n=a^{m \cdot n}
  4. (a\cdot b)^n=a^n \cdot b^n
  5. \begin{pmatrix}\dfrac{a}{b}\end{pmatrix}^n=\dfrac{a^n}{b^n}

Dôkazy nájdete v tomto článku (zatiaľ nenapísané)

Príklady:

0^n=0, \,ak \, n\,\neq 0

1^n=1

\begin{tabular}[p]{2} 2^2=4 \hspace{15} 2^3=8\\ 3^2=9 \hspace{15} 3^3=27\\ 4^2=16 \hspace{15} 4^3=64\\ 5^2=25 \hspace{15} 5^3=125\\ 6^2=36 \hspace{15} 6^3=216\\ 7^2=49 \hspace{15} 7^3=343\\ 8^2=64 \hspace{15} 9^3=512\\ 9^2=81 \hspace{15} 9^3=729\\ 10^2=100 \hspace{15} 10^3=1000\\ \end{tabular}

30^2=(3.10)^2=3^2\cdot 10^2=9 \cdot 100=900 Vzorec: (ab)^n=a^n \cdot b^n

Čo je prvá mocnina?

a^{m+1}:a^m=a^{m+1-m}=a^1=a

Použili sme vzorec pre delenie mocnín s rovnakým základom a^m:a^n=a^{m-n} a skutočnosť, že v čitateľovi sa a nachádza o jeden raz častejšie než v menovateľovi, takže po vykrátení nám zostane len a.

Čo je nultá mocnina?

a^n:a^n=a^{n-n}=a^0=1, a\neq0

Znova sme použili vzorec a^m:a^n=a^{m-n} a skutočnnosť, že podiel dvoch rovnakých čísel je 1.

Čo sú záporne celé mocniny?

a^0:a^n=a^{0-n}=a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}, a\neq 0

Príklady:

2^{-1}=\dfrac{1}{2}=0,5

2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}=0,25

\left( \dfrac{2}{3} \right) ^{-2}=\dfrac{1}{(\frac{2}{3})^2}=\dfrac{3^2}{2^2}=\dfrac{9}{4}=2,25

Číselné množiny

Matematika Leave a comment

Prirodzené čísla: Čísla, ktoré označujú počet alebo poradie nazývame prirodzené čísla. Množinu prirodzených čísel označujeme písmenom N.

Podľa tejto definície je aj nula prirodzené číslo, niektoré matematické kurzy nulu za prirodzené číslo nepovažujú.

\frac{a}{b} kde a,b\in Z \, b\neq 0.

Čísla označujúce poradie sa tiež nazývajú ordinálne čísla (z angl. order).
Čísla označujúce počet prvkov množiny, respektíve veľkosť množiny sa tiež nazývajú kardinálne čísla.

Súčet dvoch prirodzených čísel je prirodzené číslo. Množina prirodzených čísel je vzhľadom na operáciu sčítania uzavretá.

Množina prirodzených čísel nie je vzhľadom na operáciu odčítania uzavretá. Napríklad 2-3 nie je prirodzené číslo. Ak chceme zadefinovať množinu, ktorá je vzhľadom na operáciu odčítania uzavretá, dospejeme k pojmu množina celých čísel.

Celé čísla: Celé čísla sú zjednotením množiny prirodzených čísel a čísel k nim opačných. Opačné číslo k číslu a je -a. K -a dospejeme aj takto 0-a=-a. Súčet opačných čísel je nula. Množinu celých čísel označujeme písmenom Z.

Množina celých čísel je uzavretá vzhľadom na operácie: sčítanie, odčítanie a násobenie. Ak chceme, aby sme dostali množinu, ktorá je uzavretá aj na operáciu delenie, dospejeme k množine racionálnych čísel.

Racionálne čísla: Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno vyjadriť v tvare zlomku:

\frac{a}{b} kde a,b\in Z \, b\neq 0.

Racionálne čísla označujeme písmenom Q.

Množina racionálnych čísel je uzavretá vzhľadom na operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie s výnimkou delenia nulou. Ak si zavedieme operácie umocňovanie a k nej opačnú (inverznú operáciu) odmocňovanie, tak zistíme, že množina racionálnych čísel znova nie je uzavretá vzhľadom na operáciu odmocňovanie. Keď však zostrojíme štvorec so stranou 1, tak vidíme, že existuje úsečka, ktorá má dĺžku \sqrt{2}. je to uhlopriečka tohto štvorca. Možno pritom dokázať, že \sqrt{2} nemožno vyjadriť v tvare zlomku. Takto dospejeme k pojmu množina reálnych čísel.

Reálne čísla: Reálne čísla sú čísla, ktoré možno zobraziť na číselnej osi. Reálne čísla sú dĺžky všetkých úsečiek. Reálne čísla označujeme písmenom R.

Iracionálne čísla: Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne nazývame iracionálne čísla. Nedajú sa vyjadriť v tvare zlomku dvoch celých čísel.

Pre horeuvedené číselné množiny platí:

N\subset Z \subset Q \subset R

Slovom N je podmnožinou Z, Z je podmnožinou Q a Q je podmnožinou R.

Množiny a operácie s množinami

Matematika Leave a comment

Množina je súbor objektov o ktorých vieme rozhodnúť, či do množiny patria.
Množiny obvykle označujeme veľkými písmenami.

Prvok množiny: Objekt, ktorý do množiny patrí, nazývame prvok množiny.

Prvky množiny obvykle označujeme malými písmenami.

Výraz p\in A čítame ako p je prvkom A.

Výraz p\notin A čítame ako p nie je prvkom A.

Podmnožina: Ak pre každý prvok množiny A platí, že je prvkom množiny B množina A je podmnožinou B

Výraz A\subseteq B čítame ako A je podmnožinou B.

Vlastná podmnožina: Ak existuje aspoň jeden prvok množiny B, ktorý nie je prvkom A a A je podmnožinou B, potom A je vlastnou podmnožinou B.

Značíme výrazom: A\subset B

Grafické vyjadrenie podmnožiny

B je podmnožina A
A je nadmnožina B

Príklady množín a ich podmnožín:

  • množina cicavcov je podmnožinou množiny zvierat
  • množina zvierat je podmnožinou množiny živočíchov
  • množnina párnych čísel je podmnožinou celých čísel
  • množina dravcov nie je podmnožinou množiny cicavcov – existujú aj dravé vtáky a dravé ryby
  • množina žiakov triedy je podmnožinou žiakov školy

Nadmnožina: Ak množina A obsahuje všetky prvky množiny B, množinu A nazývame nadmnožina množiny B.

Prázdna množina: Množina, ktorá nemá prvky sa nazýva prázdna množina.

Značíme buď { } alebo \emptyset

Množinu môžeme určiť troma spôsobmi:

  • vymenovaním prvkov
  • uvedením vlastností, ktoré majú prvky spĺňať
  • množinovými operáciami

a kombináciou hore uvedených spôsobov.

Operácie s množinami

Zjednotenie množín: Zjednotením množiny A a množiny B je množina všetkých prvkov, ktoré sú prvkami množiny A alebo množiny B.

Značíme: A\cup B

Zjednotenie množín môžeme zapísať v tvare A\cup B= \{\forall p, \, p\in A \, \lor\, p \in B\}

Poznámka: \lor je logická spojka alebo.

Graficky možno zjednotenie vyjadriť pomocou Vennovho diagramu:

Zjednotenie množín A a B.

Prienik množín: Prienikom množiny A a množiny B je množina všetkých prvkov, ktoré sú prvkami množiny A a množiny B.

Značíme: A\cap B

Prienik množín môžeme zapísať v tvare: A\cap B= \{\forall p, \, p\in A \, \land\, p \in B\}

Poznámnka: \land je logická spojka a.

Grafické vyjadrenie prieniku množín Vennovym diagramom

Prienik množín A a B

Rozdiel množín: Rozdiel množín A a B je množina všetkých prvkov, ktoré patria do A a nepatria do B.

x \in A - B \Leftrightarrow (x \in A \land x \notin B)

Vennov diagram rozdielu množín

Rozdiel množín A a B

Zdroje

Obrázky sú prevzaté z wikipédie.

https://sk.wikipedia.org/wiki/Rozdiel_mno%C5%BE%C3%ADn

https://sk.wikipedia.org/wiki/Prienik_(matematika)

https://sk.wikipedia.org/wiki/Zjednotenie_(matematika)

Počítanie so zlomkami

Matematika Leave a comment

V živote sa často stretávame so situáciou, keď je celok rozdelený na niekoľko rovnakých častí. Napríklad pizza, čokoláda, bomboniera s rovnakými cukríkmi, …

Matematika by mala poskytovať aparát, ktorý umožňuje počítať s takýmito časťami celku. Časť celku, či viacero rovnakých častí celku nazývame zlomok.

Zlomok je číslo v tvare \hspace{10}\dfrac{a}{b}\hspace{10} a,b \in Z \hspace{15} b\neq 0

Z je množina celých čísel, \in je znak patrí do množiny. Vyššie uvedený výraz možno prečítať a, b sú celé čísla a b sa nerovná nula.

Číslo nad zlomkovou čiarou nazývame čitateľ, číslo pod zlomkovou čiarou nazývame menovateľ, čiara medzi čitateľom a menovateľom je zlomková čiara.

Krátenie zlomku

Ak čitateľa i menovateľa predelíme tým istým číslom rôznym od nuly, hodnota zlomku sa nezmení. Nazývame to krátenie zlomku. Napríklad: \dfrac{2}{4}=\dfrac{2\cdot{}1}{2\cdot{}2}=\dfrac{1}{2}

Rozšírenie zlomku

Ak čítateľa i menovateľa vynásobíme tým istým číslom rôznym od nuly, hodnota zlomku sa nezmení. Nazývame to rozšírenie zlomku. Npríklad: \dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot{}3}{4\cdot{3}}=\dfrac{9} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> <strong>Sčítanie zlomkov</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> <strong>a) s rovnakými menovateľmi</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> Zlomky s rovnakým menovateľom sčítame tak, že menovateľa opíšeme a čitateľov sčítame <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph {"align":"center"} --> \dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> b) <strong>s rôznymi menovateľmi</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> Zlomky prevedieme na rovnakého menovateľa a potom postupujeme ako v prípade a) <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}= \dfrac{a\cdot d}{b \cdot d} +\dfrac{c\cdot b}{d\cdot b}=\dfrac{a \cdot d+c \cdot b}{b \cdot d} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> Prvý zlomok sme rozšírili číslom <strong>d</strong> a druhý číslom <strong>b</strong>. Najjednoduchšie je previesť menovateľov na ich najmenší spoločný násobok, ale aj hore uvedený spôsob vedie k správnemu výsledku. <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> Mnemotechnickou pomôckou je krížové pravidlo, podľa nasledujúceho obrázku: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:image {"id":3198,"width":846,"height":635,"sizeSlug":"full","linkDestination":"none"} --> <figure class="wp-block-image size-full is-resized"><img src="https://evyuka.sk/wp-content/uploads/2023/04/kpravidlo.jpg" alt="" class="wp-image-3198" width="846" height="635"/><figcaption class="wp-element-caption">Prvého čitateľa vynásobime druhým menovateľom, druhého čitateľa prvým menovateľov, tieto výsledky sčítame a do menovateľa dáme súčin menovateľov.</figcaption></figure> <!-- /wp:image --> <!-- wp:paragraph --> <strong>Odčítanie zlomkov</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> <strong>a)</strong> <strong>s rovnakými menovateľmi</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> Zlomky s rovnakým menovateľom odčítame tak, že menovateľa opíšeme a od prvého čitateľa odpočítame druhého čitateľa <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph {"align":"center"} --> \dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> b) <strong>s rôznymi menovateľmi</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> Zlomky prevedieme na rovnakého menovateľa a potom postupujeme ako v prípade a) <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}= \dfrac{a\cdot d}{b \cdot d} -\dfrac{c\cdot b}{d\cdot b}=\dfrac{a \cdot d-c \cdot b}{b \cdot d} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> <strong>Násobenie zlomkov</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> Zlomky násobime tak, že čitateľa vynásobime čitateľom a menovateľa menovateľom. <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b \cdot d} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> <strong>Delenie zlomkov</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> Zlomky delíme tak, že druhý zlomok prevrátime (čitateľ sa stane menovateľom a naopak) a tieto zlomky vynásobime. <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}= \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> Ak budeme mať zložený zlomok, tak ide vlastne tiež o delenie zlomku zlomkom a postupujeme rovnako alebo rovno výnasobíme vonkajšie hodnoty a zapíšeme do čitateľa a vnútorné hodnoty a zapíšeme do menovateľa. <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}= \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> <strong>Príklady</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 3}+ \dfrac{1\cdot 2}{3\cdot 2} =\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 3}- \dfrac{1\cdot 2}{3\cdot 2} =\dfrac{3-2}{6}=\dfrac{1}{6} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3}=\dfrac{1}{6} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \dfrac{1}{2}: \dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{1}=\dfrac{3}{2}=1,5 <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> <em><strong>Poznámka:</strong> Výsledok sme mohli nechať aj v tvare \dfrac{3}{2} </em> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \dfrac{2}{3}\cdot \left( \dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{7}\right)= \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2 \cdot 7+3\cdot 5 }{5\cdot 7 }= \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{29}{35}=\dfrac{58}{105} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> Čo je väčšie?\dfrac{1}{3} alebo \dfrac{2}{7} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> <strong>Riešenie 1:</strong> Prevedieme na spoločného menovateľa a zlomok, ktorý bude mať väčšieho čitateľa bude väčší. <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> Spoločný menovateľ je 21.\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{21}\hspace{15} \dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{21} teda\dfrac{1}{3}>\dfrac{2}{7} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> <strong>Riešenie 2:</strong> Zlomky rozšírime tak, že čitatelia budú rovnakí. Zlomok, ktorý bude mať menšieho menovateľa bude väčší. <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}teda\dfrac{1}{3}>\dfrac{2}{7}$

Poznámka: Výhodou prvého riešenia je, že vieme o koľko je 1/3 väčšia než 2/7, výhodou druhého je, že sme to vypočítali rýchlejšie.

Zaokrúhľovanie

Matematika Leave a comment

Niekedy stačí, ak výsledok výpočtu zobrazíme na istý počet miest. Výsledok môžeme zaokrúhliť.

Pravidlá zaokrúhľovania:

  1. Zaokrúhlenie nadol: Ak prvá číslica, ktorú máme zaokrúhliť je menšia ako 5, predchádzajúce číslice opíšeme a zaokrúhlenú číslicu a všetky číslice za ňou vynecháme.
  2. Zaokrúhlenie nahor: Ak prvá číslica, ktorú máme zaokrúhliť je väčšia ako 4, k predchádzajúcej číslici pripočítame jednotku a zaokrúhlenú číslicu a číslice za ňou vynecháme.

Znakom zaokrúhlenia je znak rovná sa a nad ním krúžok alebo bodka: \doteq

Continue reading →

Mechanická práca

Matematika Leave a comment

Keď na teleso pôsobí sila, jej pôsobenie sa prejaví:

  • deformáciou telesa (deformácia môže byť pružná – dočasná alebo nepružná – trvalá)
  • posunutím telesa (teleso začne vykonávať posuvný pohyb)
  • teleso sa začne otáčať
  • kombináciou vyššie uvedeného

Ak pôsobíme na teleso silou,  tá časť sily, ktorá pôsobí v smere pohybu telesa, koná mechanickú prácu. Continue reading →

Zásady merania hmotnosti

Matematika, Leave a comment

Aby meranie hmotnosti bolo čo najpresnejšie, musíme dodržať tieto pravidlá:

  1. Voľba váh – vyberieme váhy, ktoré sú schopné danú hmotnosť odmerať, musia tiež zodpovedať požadovanej presnosti merania.
  2. Zistíme presnosť s akou dané váhy vážia. Pre veľmi malé hodnoty hmotnosti potrebujeme merať s presnosťou na 1 g až 1 mg. Vedci pri niektorých experimentoch s ešte väčšou presnosťou. Pri meraní hmotnosti človeka sa uspokojíme aj s presnosťou na 500 g.
  3. Pri vážení musia váhy stáť na vodorovnej podložke. Laboratórne váhy sa musia upraviť nastavovacími skrutkami. Pri veľmi presných meraniach sú váhy umiestnené na stabilnom mieste, kde nie sú žiadne otrasy. Váhy pred meraním by sme mali vyvážiť (pri laboratórnych váhach zistíme, či sú v rovnováhe, keď na miskách nič nie je, ak nie sú v rovnováhe, položíme na jednu z misiek malé kúsky papiera, kým nebudú v rovnováhe).
  4. Pri vážení kladieme vážené telesá a závažia do stredu misky.
  5. Pri odčítaní hodnoty na displeji musíme počkať na ustálenie hodnoty. Podobne sa musí ustáliť aj ukazovateľ na laboratórnych váhach (môžeme sa uspokojiť aj tým, že sa vychyľuje rovnakou mierou na jednu i druhú stranu).
  6. Pri zápise číselenej hodnoty hmotnosti uvedieme aj jednotku hmotnosti.

Continue reading →

Meranie hmotnosti tuhých telies

Matematika, Leave a comment

S vážením ste sa stretávali od útleho detstva. S vážením sa najčastejšie stretávame v obchode pri predaji potravín napríklad mäsa a zeleniny. Ak vaša mama alebo babka pečú, suroviny musia  pomerne presne odvážiť, inak koláč nebude mať  správny tvar, chuť a farbu. Ešte presnejšie sa musí vážiť v lekárni, pri príprave liekov.

Vážením sa určuje hmotnosť telies.

Hmotnosť je fyzikálna veličina. Hmotnosť je (zjednodušene povedané) mierou množstva hmoty. Značka hmotnosti je m.

Základnou jednotkou hmotnosti je kilogram, značka kg. Continue reading →

Rekurzia

Matematika One Comment

Rekurzia v programovaní je, ak procedúra volá samu seba. Aby rekurzia pracovala korektne, parametre, ktoré používa, by mali po nejakom čase dôjsť do stavu, v ktorom sa rekurzia zastaví.

Rekurzia môže byť priama, keď procedúra volá samu seba priamo a môže byť nepriama, ak procedúra vyvolá inú procedúru a táto vyvolá pôvodnú procedúru.

Pomocou rekurzie možno naprogramovať mnohé úlohy výrazne jednoduchšie než bez nej. Continue reading →

Magnetické pole Zeme

Matematika One Comment

Už pred viac než 2000 rokmi Číňania zistili, že magnet, ak sa môže voľne otáčať, ukazuje jedným pólom magnetu na sever a druhým na juh.

Keďže tú časť magnetickej strelky kompasu ktorá ukazuje na sever, sme nazvali severný magnetický pól a ktorá ukazuje na juh,  južný magnetický pól a rovnaké magnetické póly sa odpudzujú a opačné priťahujú,  na severnej pologuli sa nachádza južný magnetický pól Zeme a na južnej sa nachádza severný magnetický pól Zeme. Pozri obrázok vľavo. V skutočnosti sa magnetické póly Zeme nenachádzajú presne na severnom a južnom póle, sú mierne posunuté. Túto skutočnosť schematicky znázorňuje obrázok vpravo (čierna priamka je os otáčania Zeme, modrá pramka je spojnica medzi severným a južným geomagnetickým pólom). Continue reading →