Sústava dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych

26.5.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Kedysi ste sa naučili riešiť lineárnu rovnicu s jednou neznámou. V živote či vo vede sa stretávame aj so zložitejšími problémami, keď neznáme môžu byť dve a viac. V tomto článku si ukážeme, ako možno riešiť sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prvú neznámu obvykle označíme x, druhú y, ale inak na označení nezáleží (vo fyzike ich napríklad označíme značkami fyzikálnych veličín).

Continue reading →

Test množiny. Riešenia

21.5.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Nižšie sú naskenované správne odpovede testu k množinám. Poradie otázok a odpovedí bolo u každého študenta individuálne. Prečo sú správne uvedené odpovede:

Continue reading →

Exponenciálne rovnice

20.4.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Video s touto témou

Exponenciálna funkcia so základom väčším ako 1 je rastúca a so základom menším ako 1 a väčším ako 0 je klesajúca. To znamená:

$Ak\, a^x=a^y, \, potom\, x=y$ . (1)

alebo

$Ak\, a^x\ne a^y, \, potom\, x\ne y$ . (2)

Túto vlastnosť využijeme pri riešení exponenciálnych rovníc.

Príklad 1: Vyriešte rovnicu $\dfrac{1}{5^{2x-4}}=125$

Pravú stranu upravíme na mocninu 5: $125=5^3$

Pre ľavú stranu využijeme vzťah $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ .

Dostaneme: $5^{4-2x}=5^3$

Teraz využijeme vzťah (1). Riešenie exponenciálnej rovnice sa zmení na riešenie lineárnej rovnice:

$4-2x=3ň, /-3$

$1-2x=0\, /+2x$

$1=2x\, / :2$

$x=0,5$

Skúška:

$L: \dfrac{1}{5^{4-2x}}=\dfrac{1}{5^{4-2\cdot 0,5}}=\dfrac{1}{5^{-3}}=5^3=125$

$\underline{ L=P}$

Skúška správnosti vyšla. Riešením rovnice je $x=0,5$ .

Zhrnutie riešenia: Ak na ľavej aj pravej strane máme mocniny s rovnakým základom, riešime rovnicu, v ktorej sa majú rovnať exponenty. Ak nemáme rovnaký základ, nájdeme spoločný základ mocniny. V tomto príklade spoločným základom bolo číslo 5.

Príklad 2: Vyriešte $4^{x-2}=0,125$

Ako vyjadriť 0,125, ako mocninu nejakého čísla? Čo je spoločným základom? Môže to byť 4? $4^{-1}=\dfrac{1}{4}=0,25$

$4^{-2}=\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{16}=0,0625$

Zistili sme, že 4 to nie je. Číslo 4 je mocninou dvojky. $2^{-3}=\dfrac{1}{8}=0,125$

Pôvodnú rovnicu upravíme do tvaru:

$2^{2^{x-2}}=2^{-3}$

Použijeme vzťah $a^n^m=a^{n\cdot m}$ a dostaneme:

$2^{2\cdot(x-2)=2^{-3}$

Teraz stačí vyriešiť lineárnu rovnicu, v ktorej sa exponenty majú rovnať.

$2\cdot{x-2}=-3$

$2x-4=-3 // +4$

$2x=1 // :2$

$x=0,5$

Úlohy na riešenie:

Tu pribudne niekoľko úloh

Zoom – online učebňa

3.4.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Zoom je aplikácia, ktorá umožňuje spustiť videokonferenciu, v našich podmienkach online vyučovanie.

Continue reading →

Látka z matematiky pre jednotlivé triedy

2.4.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Test množiny. Riešenia

Úloha č. 1. Čísla – na druhej strane sú aj riešenia

Kosínusová veta

27.2.2020MatematikagoniometriaTibor Menyhért Leave a comment

Majme trojuholník ABC, z vrcholu C veďme výšku na stranu c, ako ilustruje obrázok vpravo. Výška $v_c$ rozdelila trojuholník na dva pravouhlé trojuholníky $\bigtriangleup AC_0C$ a $\bigtriangleup BC_0C$ .

Pre oba trojuholníky platí Pytagorova veta:

$b^2=x^2+v_c^2$

$v_c^2=b^2-x^2$

$a^2=y^2+v_c^2$

$v_c^2=a^2-y^2$

$c=x+y, \, y=c-x, \, y^2=c^2-2cx+x^2$

$cos\, \alpha=\dfrac{c}{b}, \, x=b\cdot cos\, \alpha$

Continue reading →

Nepriama úmernosť

20.2.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Jeden robotník vykope 20 metrový kanál za 8 hodín. Za koľko hodín ho vykopú dvaja robotníci, ak sú rovnako výkonní?

Dvaja robotníci kanál vykopú dvakrát rýchlejšie, takže ho vykopú za 4 hodiny.

Auto išlo priemernou rýchlosťou 60 km za hodinu, z obce Pršany do obce Dažďany došlo za 1 hodinu. Na bicykli cyklista dosahuje na tej istej trati rýchlosť 20 km za hodinu, ako dlho mu cesta potrvá?

Cyklista ide trikrát pomalšie, cesta mu bude trvať trikrát tak dlho. Trasu prejde za tri hodiny.

Oba vyššie uvedené príklady boli príklady nepriamej úmernosti.

Nepriama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak vzťah medzi nimi možno vyjadriť vzorcom: $y=\dfrac{k}{x}$ , kde k je konštanta úmernosti a $k>0, \, k \in R$

Continue reading →

Priama úmernosť

20.2.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Keď nakupujem rožky v obchode a jeden rožok stojí 8 centov, výsledná cena, ktorú zaplatím sa dá vyjadriť vzťahom: $c=8 \cdot r$ , kde c je cena a r je počet rožkov.

Rožky	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Cena v centoch	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80

Ak idem na bicykli konštantnou rýchlosťou 16 km za hodinu, dráha ktorú prejdem za nejaký čas sa dá vyjadriť vzťahom $s=16 \cdot t$ , kde s je dráha, a t je čas.

Čas	0 min	15 min	30 min	1 hod	2 hod	3 hod
Dráha	0 km	4 km	8 km	16 km	32 km	48 km

Poznámka: 15 minút je štvrť hodiny.

Hore uvedené vzťahy boli príklady priamej úmernosti.

Priama úmernosť medzi dvoma veličinami je, ak hodnotu závislej premennej od nezávislej premennej možno vyjadriť vzorcom v tvare: $y=k \cdot x$ , kde $k>0, \, k \in R$ . Konštanta priamej úmernosti k, je kladné reálne číslo.

Continue reading →

Základné pojmy pravdepodobnosti

18.2.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Majme stanovený systém podmienok (napr. máme pravidelnú hraciu kocku, ktorej steny sú označené číslami 1, 2, . . . , 6). Proces (dej), ktorý môže nastať pri realizácii týchto podmienok (napr. hod hracou kockou) nazývame pokus. Vyžadujeme, aby každý pokus mal vlastnosť hromadnosti, t. j. aby sme ho mohli teoreticky ľubovoľne krát opakovať. Výsledok tohto procesu nie je jednoznačný, je náhodný, nazývame ho náhodným javom alebo náhodnou udalosťou (napr. padnutie šestky). Náhodný jav je výsledok pokusu. Množinu všetkých navzájom sa vylučujúcich výsledkov pokusu označujme gréckym písmenom $\Omega$ . Jej prvky nazývame elementárne udalosti a označujeme ich písmenom $e_i$ , t.j. $\Omega = \{e_1, e_2, ... e_n\}$ . Podmnožiny množiny všetkých možných výsledkov pokusu nazývame náhodnými udalosťami.

Continue reading →

Náhoda a pravdepodobnosť

17.2.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Niektoré javy sú také, že vieme dopredu s absolútnou istotou povedať, čo sa stane za daných okolností:

ak zdvihneme teleso a pustíme ho, vieme že spadne na zem
ak priblížime k sebe dva magnety, začnú sa priťahovať alebo odpudzovať, podľa toho, ktoré póly magnetov sú bližšie k sebe
ak voda dosiahne 100 stupňov celzia pri normálnom tlaku, začne vrieť
ak teplota klesne pod 0 stupňov celzia pri normálnom tlaku, zmrzne

Iné javy sú také, že nevieme s istotou povedať čo nastane, ale vieme že nastane niektorá z možností:

hodíme kocku, padne jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale dopredu nevieme, ktoré z nich to bude
hodíme mincu, padne rub alebo líc
meteorológovia namerajú údaje v atmosfére a síce predpovedia, aké bude počasie, ale čas od času im predpoveď nevyjde
voda síce pri 100 stupňoch celzia začne vrieť, ale nevieme dopredu povedať, či konkrétna molekula vody bude ešte v hrnci o 5 sekúnd

Prvú triedu nazývame deterministické javy. Druhú triedu javov nazývame náhodné javy.

Continue reading →

Precenenie tovaru

6.2.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

V praxi neraz budete tovar preceňovať. Buď ho o nejaké percentá zdražíte alebo zlacníte, alebo zmenu vypočítate pripočítaním alebo odpočítaním nejakej čiastky a spätne budete potrebovať zistiť o koľko percent ste cenu zvýšili alebo znížili.

Zlacnenie: Ak tovar chceme zlacniť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca: $c_n=(1-p/100)\cdot c_p$ kde $c_n$ je nová cena a $c_p$ je pôvodná cena.

Príklad: Tovar stoji 70 euro, zlacníme ho 20%. Aká bude nová cena?
$c_n=(1-20/100)\cdot 70=0,8\cdot 70=56$
Nová cena bude 56 euro.

Zdraženie: Ak tovar chceme zdražiť o p%, novú cenu vypočítame zo vzorca $c_n=(1+p/100)\cdot c_p$ kde $c_n$ je nová cena a $c_p$ je pôvodná cena.

Continue reading →

Dotazník pre štatistický prieskum

30.1.2020MatematikaštatistikaTibor Menyhért Leave a comment

Kliknite na tento odkaz a vyplňte dotazník

Neskôr tu pribudne štatistické vyhodnotenie

Goniometrické funkcie

28.1.2020MatematikagoniometriaTibor Menyhért Leave a comment

Ešte na základnej škole ste sa učili o podobnosti trojuholníkov.

Dva trojuholníky $\Delta ABC, \, \Delta A'B'C'$ sú podobné ak platí: $\dfrac{a' } {a}= \dfrac{b' } {b}= \dfrac{c' } {c}=k$

Konštantu k nazývame koeficient podobnosti. Ak je k väčšie ako 1, trojuholník sme zväčšili, ak je menšie ako 1 zmenšili a ak je rovný 1, trojuholníky sú zhodné.

Učili ste sa tiež vetu UU.

Veta UU: Ak sú v dvoch trojuholníkoch dva uhly zhodné, potom sú trojuholníky podobné.

Zároveň vieme, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je $180 ^ \circ$ .

Z uvedených znalostí možno odvodiť, že ak máme dva pravouhlé trojuholníky a jeden z ostrých uhlov jedného trojuholníka je zhodný s ostrým uhlom v druhom trojuholníku, potom sú trojuholníky podobné, pretože majú dva zhodné uhly.

Z toho vyplýva, že pomer strán pravouhlých trojuholníkov s rovnakými uhlami je rovnaký a môžeme zaviesť funkcie uhlov, ktoré budú odvodené z pomerov strán pravouhlého trojuholníka:

$a':b':c'=k.a:k.b.k.c=a:b:c$

Continue reading →

Radián

27.1.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Na základnej škole ste veľkosť uhla merali v stupňoch, kde celý kruh mal 360 stupňov, pravý uhol mal 90 stupňov, rovnostranný trojuholník mal 60 stupňové uhly, …

Rozdelenie kruhu na 360 stupňov zaviedli už Babylončania. Vo fyzike sa ukázalo užitočné merať uhly v radiánoch.

Radián je uhol, ktorý s vrcholom v strede kružnice vytne na kružnici oblúk s dĺžkou rovnou dĺžke polomeru. Značka rad.

Obvod kruhu počítame podľa vzorca: $o=2\pi r$ , potom 360 stupňom zodpovedá $2\pi\, rad$

$1 \, rad= \dfrac{360}{2 \pi}\doteq 57,3^\circ$

Stupne	Radiány
0	$0$
30	$\dfrac{ \pi }{6}$
45	$\dfrac{ \pi }{4}$
60	$\dfrac{ \pi }{3}$
90	$\dfrac{ \pi }{2}$
120	$\dfrac{ 2\pi }{3}$
180	$\pi$
270	$\dfrac{ 3\pi }{2}$
360	$2 \pi$

Riešenia percentá

24.1.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Koľko percent je 30 zo 120?
- $p=\dfrac{c}{z}\cdot 100=30\cdot 100:120=25\%$
Koľko percent je 25 z 80?
- $p=25\cdot 100:80=31,25\%$
Koľko percent je 15 zo 40?
- $p=37,5\%$
Koľko percent je 8 z 24?
- $p=33,33\%$
Ak je základ 400, koľko je 25%?
- z=400, p=25, c =?
- $p=\dfrac{c}{z}\cdot 100$
- $25=\dfrac{c}{400}\cdot 100$
- $25 \cdot 400 :100=c$
- $c=100$
- 25 % zo 400 je 100
Ak je základ 280, koľko je 30%?
- 100% ….. 280
- 1% ………..2,8
- 30% ………30 x 2,8= 84
- 30% z 280 je 84
Ak je základ 90, koľko je 47%?
- 100% ………. 90
- 1% …………… 0,9
- 47% …………47 x 0,9=42,3
- 47% z 90 je 42,3
Ak je základ 333, koľko je 50%?
- 50% je polovica, 333:2=166,5
- 50% z 333 je 166,5
Ak je 10% 7, koľko je základ?
- $p=\dfrac{c}{z}\cdot 100$
- z= \dfrac{c}{p}\cdot 100
- z= \dfrac{7}{10}\cdot 100=70
- Ak je 10% 7, potom je základ 70 .
Ak je 33% 99, koľko je základ?
- 33% ………. 99
- 1 % ……….. 99:33=3
- 100% ……..3.100=300
- Ak je 33% 99, základ je 300.
Ak je 75% 90, koľko je základ?
- 75% …… 90
- 1% ……… 90:75=1,2
- 100% ….. 1,2 x 100=120
- Ak je 75% 90, základ je 120.
Ak je 13% 26, koľko je základ?
- 13% ……… 26
- 1% ……….. 26:13=2
- 100% ……. 2 x 100=200
- Ak je 13% 26, základ je 200.
Po zlacnení o 20% televízor stoji 400 euro. Koľko stál pred zlacnením?
- Ak televízor zlacnel o 20%, jeho aktuálna cena je 80% pôvodnej ceny.
- 80%……400
- 1% ……..400:80=5
- 100%…..5 x 100=500
- Televízor pred zlacnením stál 500 euro.
Po zlacnení o 25% stojí práčka 300 euro. Koľko stála pred zlacnením?
- 100-25=75. Aktuálna cena je 75% pôvodnej ceny.
- 75%…….300
- 1%……….300:75=4
- 100%…..4.100=400
Po zdražení o 10% stojí auto 7700 euro. Koľko stálo pôvodne?
- 100+10=110. Nová cena je 110% p;vodnej ceny.
- 110%……7700
- 1%………..7700:110=70
- 100%……70.100=7000
Pred zdražením stál lístok MHD 60 centov, po zdražení stojí 90 centov. Koľko percentné zdraženie to bolo?
- 100%…….60
- 1%………..60:100=0,6
- zdraženie je 90-60=30
- 30:0,6=50
- Zdraženie lístkov bolo 50%.
Mesačník na MHD stál 20 euro, po zdražení stojí 25 euro. Koľko percentné zdraženie to bolo?
- 100%…………20
- 1%…………….0,20
- zdraženie 25-20=5
- 5:0,2=25
- Zdraženie mesačníkov bolo 25%.
Pred zdražením som jazdil mesačne priemerne 25 krát s MHD, teraz jazdím o 40% menej často. O koľko odo mňa získa na tržbách dopravný podnik viac alebo menej za celý rok oproti minulosti?
- Rok má 12 mesiacov, pôvodne som minul 12.25.0,6=180 euro
- 25.0,6=15 jázd mesačne po zdražení
- ročne 12.15.0,9=162 euro
- 180-162=18
- Dopravný podnik odo mňa získa ročne o 18 euro menej ako pred zdražením.

Percentá

24.1.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Neraz sa stáva, že potrebujeme porovnať dva či viac objektov rovnakého druhu z hľadiska ich štruktúry, pričom objekty nie sú rovnako veľké. Majme dve školy, na jednu chodí 400 žiakov z toho 100 dievčat, na druhú 600 žiakov z toho 120 dievčat. Hoci na druhú školu chodí v absolútnej hodnote dievčat viac, relatívne ich tam chodí menej. Relatívny počet dievčat na oboch školách možno vyjadriť zlomkami:

$d_{1}= \dfrac{100}{400}= \dfrac{1}{4}$ a $d_{2}= \dfrac{120}{600}= \dfrac{1}{5}$

Keď porovnávame relatívne počty, stalo sa zvykom, že relatívny počet prevedieme na zlomok s menovateľom 100 a aby sme nemuseli písať zlomok píšeme znak %.

Hore uvedené zlomky potom prejdú do tvaru $d_{1} = \dfrac{25}{100}= 25\%$ a $d_{2}= \dfrac{20}{100}= 20\%$ .

Znak % čítame ako percento, názov pochádza z latinského per cento znamenajúce na sto podobne ako jeden cent je stotina eura.

Continue reading →

Pascalov trojuholník

23.1.2020MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Hoci sa Pascalov trojuholník nazýva podľa matematika Blaise Pascala, neobjavil ho on, ale poznali ho už v 13. storočí čínski matematici. Pascal však tento trojuholník a vzťahy ktoré v ňom platia preštudoval do hĺbky a tak bol pomenovaný po ňom.

Ako vytvoríme Pascalov trojuholník?

Do nultého riadku napíšeme 1, do prvého dve jednotky tak, že jednotka z predchádzajúceho riadku je v strede medzi nimi. Na začiatok a koniec každého ďalšieho riadku napíšeme jednotku a na ostatné pozície napíšeme súčet čísel, ktoré sú nad ním vľavo a vpravo. Tak ako ukazuje animovaný obrázok:

Možno dokázať, že jednotlivé čísla Pascalovho trojuholníka zodpovedajú kombinačným číslam.

$\sum$

${0 \choose 0}$

$2 ^ 0=1$

n=1

${1 \choose 0}$

${1 \choose 1}$

$2 ^ 1=2$

n=2

${2 \choose 0}$

${2 \choose 1}$

${2 \choose 2}$

$2 ^ 2=4$

n=3

${3 \choose 0}$

${3 \choose 1}$

${3 \choose 2}$

${3 \choose 3}$

$2 ^ 3=8$

n=4

${4 \choose 0}$

${4 \choose 1}$

${4 \choose 2}$

${4 \choose 3}$

${4 \choose 4}$

$2 ^ 4=16$

n=5

${5 \choose 0}$

${5 \choose 1}$

${5 \choose 2}$

${5 \choose 3}$

${5 \choose 4}$

${5 \choose 5}$

$2 ^ 5=32$

Vlastnosti Pascalovho trojuholníka

Pascalov trojuholník je osovo súmerný podľa osi prechádzajúcej horným vrcholom.
Súčet čísel v každom riadku zodpovedá n-tej mocnine čísla 2.
${n \choose k}= {n-1 \choose k-1}+ {n-1 \choose k}$ pre $n > 0$

Kombinačné čísla

23.1.2020MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Počet kombinácií bez opakovania sme vyjadrili vzorcom:

$K(n)= \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$

Kombinačné číslo zapisujeme ako ${n \choose k}$ , čítame ako n nad k a jeho hodnotu vypočítame rovnako ako počet kombinácií bez opakovania: ${n \choose k}= \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$

Kombinačné čísla sa vyskytujú nielen v kombinatorike, ale aj pri iných matematických úlohách. Napríklad koeficienty pri rozpísaní mocniny $(a+b)^n$ usporiadané zostupne podľa exponentov pri a.

Zákon sily

27.12.2019FyzikamechanikaTibor Menyhért Leave a comment

Zo skúsenosti vieme, že:

oveľa ľahšie roztlačíme vozík s malým dieťaťom než rovnaký vozík s ťažkým chlapom
ak sa rovnakou rýchlosťou pohybuje vozík s malým dieťaťom a s ťažkým chlapom, vozīk s dieťaťom zastavīme výrazne ľahšie

Pokus: K prázdnemu a naloženému vozíku priviažeme špagáty, tie vedieme cez kladky a na druhý koniec špagátov priviažeme rovnaké závažia. Prázdny vozík bude mať väčšie zrýchlenie než plný, pričom na oba vozíky pôsobila rovnaká sila.

Na základe podobných pokusov môžeme odvodiť zákon sily.

Zákon sily (2. Newtonov pohybový zákon): Zrýchlenie telesa v inerciálnej vzťažnej sústave je priamo úmernė sile, ktorá naň pôsobī a nepriamo úmerné hmotnosti telesa.

Continue reading →

Zákon zotrvačnosti

23.12.2019FyzikamechanikaTibor Menyhért Leave a comment

Každodenne sa stretåvame s takýmito a podobnými javmi:

ak cestujeme mestskou hromadnou dopravou a šofér prudko akceleruje, ak sa nedržíme, môžeme spadnúť, zdá sa nám, akoby na nás pôsobila sila, pôsobiaca v opačnom smere, než je smer pohybu vozidla
ak vodič prudko zabrzdí, naopak nás nejaká sila „hodí“ dopredu
ak vodič prechádza rýchlo zákrutou, nejaká sila nás tlačí nabok
keď sa v pračke začne bubon otáčať vo vysokých obrátkach, prádlo sa vyžmýka

Všetký tieto javy sú dôsledkom zákona zotrvačnosti.

Zákon zotrvačnosti (1. Newtonov pohybový zákon): Teleso v inerciálnej sústave zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, ak výslednica síl naň pôsobiacich je nulová.

Continue reading →

Newtonove pohybové zákony

23.12.2019FyzikaTibor Menyhért Leave a comment

Newtonove pohybové zákony alebo Newtonove zákony pohybu alebo Newtonove princípy sú základné zákony mechaniky, ktoré zverejnil Isaac Newton v diele Philosophiae naturalis principia mathematica v r. 1687. Tvoria axiomatický základ Newtonovej mechaniky.

Sú to tieto tri zákony:

Zobraziť článok

Newtonov pohybový zákon (zákon zotrvačnosti): Teleso v inerciálnej sústave zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, ak výslednica síl, ktoré naň pôsobia je nulová.
Newtonov pohybový zákon (zákon sily): Zmena hybnosti telesa za jednotku času je priamo úmerná veľkosti pôsobiacej sily.
Newtonov pohybový zákon (zákon akcie a reakcie): Ak jedno teleso pôsobí na druhé teleso nejakou silou, druhé teleso pôsobí na prvé teleso rovnako veľkou silou opačného smeru.

Newtonove pohybové zákony umožňujú určiť, aký bude pohyb telesa v inerciálnej vzťažnej sústave, ak sú známe všetky sily, ktoré naň pôsobia.

Podrobnejšie v jednotlivých článkoch o pohybových zákonoch.

Zdroje:

Štatistické charakteristiky

18.12.2019MatematikaštatistikaTibor Menyhért One Comment

Štatistické charakteristiky sú hodnoty, ktoré charakterizujú štatistický súbor ako celok. Medzi štatistické charakteristiky patria:

aritmetický priemer
geometrický priemer
kvadratický priemer
harmonický priemer
medián
modus
smerodajná odchýlka
rozptyl
korelácia

Continue reading →

Štatistika

18.12.2019MatematikaštatistikaTibor Menyhért Leave a comment

Štatistika alebo matematická štatistika je odbor matematiky, ktorý skúma štatistické súbory – súbory štatistických jednotiek. Zosumarizujú sa znaky jednotlivých jednotiek a potom sa vyhodnotia charakteristické znaky celého štatistického súboru.

Štatistika úzko súvisí s pravdepodobnosťou. Niekedy môžeme preskúmať iba časť celku, vyhodnotením štatistických charakteristík tejto časti vieme s istou spoľahlivosťou určiť charakteristiky celého súboru.

Základné pojmy štatistiky

Štatistický súbor je súbor štatistických jednotiek s nejakou spoločnou vlastnosťou.

Štatistická jednotka je prvok štatistického súboru, jednotlivý objekt štatistického skúmania: osoba pri sčítaní obyvateľstva; častica pri skúmaní vlastností plynov, kvapalín; domácnosť pri výskume vybavenosti domácností…

Rozsah štatistického súboru je počet štatistických jednotiek v štatistickom súbore, $n\in N$ .

Continue reading →

Kvadratická rovnica

9.12.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Kvadratická rovnica je rovnica, ktorú možno previesť na tvar:

$a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$ kde $a,b,c \in R \, \wedge\, a\neq 0$

$a x^2$ – kvadratický člen
$b x$ – lineárny člen
$c$ – absolútny člen

Continue reading →

Kvantifikátory

6.12.2019MatematikalogikaTibor Menyhért Leave a comment

Niektoré výroky obsahujú slová každý, všetci, existuje, …

Každý a všetci neznamená to isté. Výroky:

Každý žiak triedy dostal z písomky jednotku.

Všetci žiaci triedy dostali z písomky jednotku.

sú ekvivalentné, ale napríklad výroky

Každý človek sa zmestí do tejto skrine.

Všetci ľudia sa zmestia do tejto skrine.

ekvivalentné nie sú. Z uvedeného vidno, že hovorová reč často nie je presná, máme v druhom výroku na mysli všetci súčasne alebo osobitne ako v prvom výroku?

Poznámka: Jeden zo žiakov uviedol iný príklad, kedy slovo každý nemožno nahradiť slovom všetci: Každý druhý.

Všeobecný kvantifikátor: Slovo každý(-á,-é) v matematike vyjadrujeme symbolom $\forall$ . Tento symbol nazývame všeobecný kvantifikátor.

Existenčný kvantifikátor: Slovo existuje v matematike vyjadrujem symbolom $\exists$ . Tento symbol nazývame existenčný kvantifikátor.

Continue reading →

Riešenia (lineárne rovnice)

5.12.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Vyriešte rovnice a vykonajte skúšku správnosti

a) $10x-1=15-6x / +6x+1$
$16x=16 / : 16$
$\underline{x=1}$

Skúška: $L: 10\cdot 1-1=9 \hspace{30} P: 15-6\cdot 1=9\hspace{30} \underline{L=P}$

b) $9x-8=11x-10 /-9x+10$
$2=2x / 2$
$\underline{x=1}$

Skúška: $L: 9\cdot 1-8=1 \hspace{30} P: 11 \cdot 1-10=1 \hspace{30} \underline{L=P}$

c) $1\dfrac{1}{2}z-2=3\dfrac{1}{4}z-9 / +1\dfrac{1}{2}z+9$

$7=(3\dfrac{1}{4}+1\dfrac{1}{2})z$

$7=4\dfrac{3}{4}z / :\dfrac{19}{4}$

$z=\dfrac{28}{19}$

Lineárna rovnica

4.12.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Lineárna rovnica je každá rovnica, ktorú môžeme „korektnými“ úpravami previesť na tvar: $a\cdot x+b=0$
kde $a,b \in R, \, a\neq 0$ .

„Korektné“ úpravy sú také úpravy, ktoré nezmenia riešenie rovnice. Úpravy ktoré nemenia riešenie rovnice nazývame ekvivalentné úpravy.

ekvivalentný – majúci rovnakú cenu, hodnotu, rovnocenná náhrada

Continue reading →

Graf funkcie

4.12.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Aký má funkcia priebeh najlepšie uvidíme, ak nakreslíme jej graf.

Najprv nakreslíme súradnicové osy x a y a zvolíme veľkosť jednotkovej úsečky. Obvykle volíme rovnaké jednotkové úsečky pre os x aj y, ale ak funkcia prudko rastie alebo klesá, či naopak, y hodnoty budú v absolútnej hodnote výrazne menšie než hodnoty x môžeme zvoliť rôzne jednotkové úsečky.

Potom si vytvoríme tabuľku, do ktorej zapíšeme hodnoty x do prvého riadku a hodnoty y do druhého riadku. Ak by sme mali napríklad funkciu f(x)=x 2, mohla by tabuľka vyzerať takto:

x	-4	-3	-2	-1	-0,5	0	0,5	1	2	3	4
y	16	9	4	1	0,25	0	0,25	1	4	9	16

Vedieme kolmice na os x v bodoch z prvého riadku a kolmice na os y v bodoch druhého riadku, kde sa tieto kolmice pretnú, označíme bod krúžkom. Keď sme vyznačili všetky body z tabuľky, prepojíme ich krivkou.

Kombinácie

2.12.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Príklad 1: Trieda má 20 žiakov, koľkými spôsobmi z nich možno vytvoriť týždenníkov.
Riešenie: Prvého týždenníka môžeme vybrať z 20 možností a druhého z 19, ale u týždenníkov neurčujeme, ktorý z nich je prvý alebo druhý týždenník, takže ak ako prvého týždenníka zvolíme pôvodne druhého týždenníka a naopak, je to stále tá istá voľba, takže Súčin 20 krát 19 musíme predeliť dvoma. Celkový počet možností je teda 190.

Príklad 2: V hre loto sa žrebuje 6 čísel plus dodatkové číslo zo 49 čísel. Aká je pravdepodobnosť, že hráč vyhrá jackpot, ak podal jeden tip?

Než budeme riešiť druhý príklad, zadefinujeme, čo je to kombinácia.

Kombinácia k-tej triedy z n-prvkov bez opakovania je výber k prvkov z n-prvkovej množiny, pričom nezáleží na poradí prvkov a prvky sa neopakujú.

Continue reading →

Riešenia (permutácie s opakovaním)

29.11.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért One Comment

Úlohy

Koľko permutácií s opakovaním možno vytvoriť z písmen slova OKOLO?
V krabičke je 10 farbičiek: 4 červené, 3 modré, 2 žlté a jedna zelená. Koľkými spôsobmi ich môžeme usporiadať, ak farbičky rovnakej farby nevieme rozlíšiť?
Osem študentov sa môže ubytovať v troch izbách, pričom dve sú trojposteľové a jedna dvojposteľové. Koľkými spôsobmi sa môžu študenti ubytovať?
Šesťciferný kód na trezore sa skladá z rovnakých číslic ako číslo 926002 a zlodej to vie. Ako najdlhšie by zlodejovi trvalo, než by trezor otvoril, ak nastavenie jednej kombinácie číslic trvá 5 sekúnd?
Koľko rôznych aj bezvýznamových slov možno zostaviť zo slova MATEMATIKA, ak sa použijú všetky písmená?

Continue reading →

Permutácie

29.11.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Permutácia je usporiadanie všetkých prvkov množiny.

Permutácia je špeciálny prípad variácie. Je to variácia n-tej triedy z n prvkovej množiny. Ak sa prvky v množine neopakujú:

$P(n)=V_n(n)=\dfrac{n!}{(n-n)!}=\dfrac{n!}{0!}=\dfrac{n!}{1}=n!$

Počet permutácií n-prvkovej množiny bez opakovania teda je: $P(n)=n!$

Continue reading →

Variácie

25.11.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Príklad: Šachového turnaja sa zúčastnilo 8 hráčov. Koľko rôznych umiestnení mohlo byť na prvých troch miestach?

Riešenie: Na prvom mieste mohlo byť 8 hráčov, ak už na prvom mieste máme hráča, na druhom môže byť 7 hráčov a na treťom už len 6, lebo dvaja už sú na prvom a druhom. Počet možných umiestnení na prvých troch miestach je teda 8.7.6=336.

Príklad: Trieda má 20 žiakov. Žiaci si idú voliť triedny výbor: predsedu, podpredsedu a pokladníka. Koľko rôznych zostáv môže mať výbor triedy.

Riešenie: Za predsedu môže byť zvolených 20 žiakov, za podpredsedu už len 19, lebo predseda nemôže byť aj podpredsedom a za pokladníka 18, lebo pokladník nemôže byť zároveň predsedom alebo podpredsedom. Počet rôznych zostáv výboru je 20.19.18=6840.

Oba vyššie uvedené príklady boli príkladmi variácií bez opakovania, keď každý prvok sa vo výbere mohol vyskytnúť iba raz a záležalo na poradí prvkov.

Variácia k-tej triedy z n prvkovej množiny je výber k prvkov z n prvkov.

Ak sa prvky nemôžu opakovať, je to variácia bez opakovania.

Ak sa prvky opakovať môžu, je to variácia s opakovaním.

Continue reading →

Kombinatorika

25.11.2019MatematikakombinatorikaTibor Menyhért Leave a comment

Kombinatorika je matematická disciplína, ktorá sa zaoberá kombinovaním rôznych súborov objektov. Napr. Koľko je možných rôznych poradí na prvých troch miestach, ak je súťažiacich 10? Aká je pravdepodobnosť jackpotu v lotte? Ako spravodlivo nasadiť družstvá v turnaji? Ako zostaviť rozvrh školy, aby vyhovoval daným kritériám?

Výsledky kombinatoriky sa využívajú napríklad pri výpočtoch pravdepodobnosti.

Príklad: Koľko existuje dvojciferných čísel, v ktorých sa číslice neopakujú?

Continue reading →

Funkcia

19.11.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Funkcia na množine D je ľubovoľný predpis, ktorý každému prvku množiny D priradí práve jedno reálne číslo. Funkciu označujeme malým písmenom.

Prvky množiny D nazývame nezávislá premenná, ich obrazy sú závislá premenná. Nezávislú premennú obvykle označujeme x a závislú y, ale môžeme zvoliť také označenie, aby bolo zrejmé čo tieto premenné označujú. napríklad $s=v.t$ , kde $s$ je dráha, $v$ je konštantná alebo priemerná rýchlosť a $t$ je čas.

Continue reading →

Logické spojky (logické operácie)

19.11.2019MatematikalogikaTibor Menyhért Leave a comment

Výroky môžeme spájať logickými spojkami. Spojením dvoch elementárnych výrokov vznikne zložený výrok. Logické spojky predstavujú operátory logických operácií.

negácia – pred pôvodný výrok napíšeme nie je pravda že, tiež môžeme napísať predponu ne-. Negáciu výroku A môžeme označiť A‘ alebo použiť operátor $\neg$ . Pri programovaní alebo v exceli používame NOT.
konjukcia – a, ako operátor sa namiesto a môžu použiť $\wedge$ , &. Pri programovaní alebo v exceli AND
disjunkcia – alebo, ako operátor sa namiesto alebo používa $\vee$ . Pri programovaní a v exceli OR.
exkluzívna disjunkcia – vylučujúce alebo, buď … alebo. Ako operátor použijeme pri programovaní a exceli XOR, pri matematickom zápise môžeme použiť $\oplus$ .
implikácia – ak A potom B, ak A tak B, z A vyplýva B, A implikuje B. Ako operátor používame $A\implies B$
ekvivalencia – A práve vtedy a len vtedy ak B. Ako operátor používame $A\iff B$

Continue reading →

Logika

18.11.2019MatematikalogikaTibor Menyhért Leave a comment

Logika je náuka, skúmajúca, ako správne uvažovať.

Logika sa používa vo všetkých vedeckých disciplínach, ale aj v bežnom živote.

Matematická logika je matematická disciplína, ktorá skúma logické výroky a logické súdy z formálneho hľadiska. Študuje pravdivosť zložených výrokov na základe pravdivosti / nepravdivosti elementárnych výrokov.

Logický výrok alebo len výrok je oznamovacia veta, o ktorej vieme rozhodnúť, či je pravdivá alebo nepravdivá.

Continue reading →

Operácie s mnohočlenmi

14.11.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Z mnohočlenmi môžeme robiť rovnaké operácie ako s číslami. Majme dva mnohočleny: $A(x)\, a\, B(x)$

sčítanie: $A(x)+B(x)$
odčítanie: $A(x)-B(x)$
násobenie: $A(x)\cdot B(x)$
delenie: $A(x) : B(x)$

Continue reading →

Mnohočleny

14.11.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Mnohočlen alebo polynóm n-tého stupňa je algebraický výraz v tvare:

$P(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_2 \cdot x^2+a_1\cdot x+a_0$

kde $a_i$ sú číselné konštanty a $x$ je premenná. Exponenty pri premennej sú prirodzené čísla, konštanty sú reálne čísla a $a^n\neq 0$ .

Poznámka: termín polynóm pochádza z gréčtiny, kde poly je mnoho a nóm je člen.

Polynóm je napríklad: $3x^2+1$ alebo $7x^3+x^2-1$

Polynóm môže obsahovať aj viacero premenným napríklad:

$R(x,y)=3x^2y+2xy+y^2-1$

Continue reading →

Výrazy

12.11.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Algebraický výraz je zápis skladajúci sa z čísel a z písmen (tie označujú premenné), ktoré sú pospájané znakmi matematických operácií, ako sú napríklad sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocnenie, odmocnenie, goniometrické funkcie, logaritmy, absolútna hodnota, atď. Môžu obsahovať aj zátvorky, ktoré určujú poradie (prioritu) vykonávania naznačených operácií. Výrazy sú napríklad zápisy: $a^2 + 1,\, 4\sin x,\,\sqrt{a} + 2$

Ak namiesto premenných zadáme konkrétne číselné hodnoty, dostaneme hodnotu algebraického výrazu.

Continue reading →

Meranie elektrických veličín

12.11.2019FyzikaTibor Menyhért Leave a comment

Elektrický prúd meriame ampérmetrom.

Elektrické napätie meriame voltmetrom.

Elektrický odpor môžeme merať dvoma spôsobmi: ohmmetrom alebo odmeriame napätie na koncoch zariadenia a prúd prechádzajúci zariadením a elektrický odpor vypočítame z Ohmovho zákona: $R=\dfrac{U}{I}$

Continue reading →

Mocninové funkcie

6.11.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Mocninová funkcia je funkcia v tvare: $y=a\cdot x^n,\, kde\, a\neq 0, n\neq 0,\,a,n,x \in R$

Continue reading →

Kmitavý pohyb

25.10.2019FyzikaTibor Menyhért Leave a comment

Kmitavý pohyb je pohyb, ktorý sa pravidelne opakuje.

Zariadenia vykonávajúce pravidelne sa opakujúci pohyb:

a) kyvadlo
b) teleso zavesené na pružine
c) tyč upevnená na jednom konci
d) kvapalina v trubici v tvare U
e) hodinový nepokoj
f) struna

Kyvadlo. Rýchlosť, zrýchlenie, uhol výchylky

Kmitavý pohyb môže byť:

a) priamočiary
b) krivočiary
c) otáčavý
d) nerovnomerný (nerovnomerný je vždy)

Kmit: periodicky sa opakujúca sa časť kmitavého pohybu

Doba kmitu (perióda): doba, za ktorú sa vykoná jeden kmit. Značka: T

Frekvencia (kmitočet): Počet kmitov za sekundu. Značka: f

Prevod odmocnín na mocniny

24.10.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Odmocňovanie je opačná operácia k umocňovaniu. $\sqrt[n]{a^n}=a$ .

Opačnou operáciu k sčítaniu je odčítanie a zistili sme, že odčítanie sa dá previesť na sčítanie. K číslu pripočítame záporné číslo:

$a-b=a+(-b)$

Podobne delenie je opačnou operáciu k násobeniu a zistili sme, že delenie sa dá previesť na násobenie: $a:b=a\cdot \dfrac{1}{b}$

Analogicky by mohlo platiť, že by sme nejako mohli previesť odmocňovanie na umocňovanie.

Continue reading →

Odmocniny

23.10.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Druhá odmocnina z a je také číslo b pre ktoré platí:

$a=b \cdot b$ označujeme ho $b= \sqrt a$

Odmocňovanie je opačná operácia k umocňovaniu, takže platí:

$\sqrt { a^2 }=a$

Podobne možno zadefinovať tretiu odmocninu:

Tretia odmocnina z a je také číslo b pre ktoré platí:

$a=b \cdot b \cdot b$ označujeme ho $b= \sqrt[3]{a}$

Všeobecne: n-tá odmocnina z a je také číslo b pre ktoré platí:

$a=b^n$ označujeme ho $b= \sqrt[n]{a}$

Platí: $\sqrt[n]{a^n}=a$

Continue reading →

Mocniny čísla desať. Zápis veľmi veľkých a veľmi malých čísel

23.10.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Mocniny čísla 10:

$10^0=1\hspace{15}10^1=10 \hspace{15} 10^2=100 \hspace{15} 10^3=1000 \hspace{15} 10^4=10000$

$10^ 5=100000 \hspace{15} 10^ 6=1000000$

$10^{-1}=0,1 \hspace{15} 10^{-2}=0,01 \hspace{15} 10^{-3}=0,001$

Počítame v desiatkovej sústave. Čislo 3456 možno zapísať v tvare:

$3456=3\cdot 1000+ 4\cdot 100+5 \cdot 10+ 6\cdot 1$

Čísla 1, 10, 100, 1000 sú mocniny čísla 10, takže toto číslo môžeme zapísať aj v tvare:

$3456=3\cdot 10^3+ 4\cdot 10^2+5 \cdot 10^1+ 6\cdot 10^0$

Podobne aj desatinné čísla môžeme zapísať ako súčet mocnín čísla desať:

$0,5607=5\cdot 10^{-1}+ 6\cdot 10^{-2} +0 \cdot 10^{-3}+ 7\cdot 10^{-4}$

Niekedy spracujeme s veľmi veľkými alebo s veľmi malými číslami. Často je pohodlnejšie takéto čísla zapísať v tvare súčinu nejakého čísla a mocniny desiatky. Napríklad číslo: 1 235 000 000 – jedna miliarda 235 miliónov možno zapísať takto:

$123500000=1,235 \cdot 10^{9 }$

Alebo číslo $0,000000005627=5,627 \cdot 10^{-9}$

Continue reading →

Mocniny

21.10.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Už na základnej škole ste sa stretli s druhou a treťou mocninou a so zovšeobecnením pre umocňovanie na ľubovolné prirodzené číslo.

Druhá mocnina: $a^2=a\cdot a$

Druhu mocninu ste používali napríklad pri výpočte obsahu štvorca a kruhu a pri Pytagorovej vete.

Obsah štvorca so stranou $a$ : $S=a^2$

Obsah kruhu s polomerom $r$ : $S=\pi r^2$

Pytagorova veta: $c^2=a^2+b^2$

Tretia mocnina: $a^3=a\cdot a \cdot a$

Tretiu mocninu ste používali napríklad pri výpočte objemu kocky a objemu gule.

Objem kocky so stranou $a$ : $V=a^3$

Objem gule s polomerom $r$ : $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$

n-tá mocnina

Zovšeobecnením môžeme zaviesť mocninu na n:

$a^n=a_1\cdot a_2\cdot ... \cdot a_n,\, kde\, a_1=a_2=...=a_n$

Súčin n rovnakých činiteľov nazývame n-tá mocnina.

Pravidlá pre počítanie s mocninami

Možno dokázať nasledujúce pravidlá pre počítanie s mocninami:

$a^n \cdot a^m= a^{m+n}$
$a^n : a^m= a^{m-n}$
$(a^m)^n=a^{m \cdot n}$
$(a\cdot b)^n=a^n \cdot b^n$
$\begin{pmatrix}\dfrac{a}{b}\end{pmatrix}^n=\dfrac{a^n}{b^n}$

Dôkazy nájdete v tomto článku (zatiaľ nenapísané)

Príklady:

$0^n=0, \,ak \, n\,\neq 0$

$1^n=1$

$\begin{tabular}[p]{2} 2^2=4 \hspace{15} 2^3=8\\ 3^2=9 \hspace{15} 3^3=27\\ 4^2=16 \hspace{15} 4^3=64\\ 5^2=25 \hspace{15} 5^3=125\\ 6^2=36 \hspace{15} 6^3=216\\ 7^2=49 \hspace{15} 7^3=343\\ 8^2=64 \hspace{15} 9^3=512\\ 9^2=81 \hspace{15} 9^3=729\\ 10^2=100 \hspace{15} 10^3=1000\\ \end{tabular}$

$30^2=(3.10)^2=3^2\cdot 10^2=9 \cdot 100=900$ Vzorec: $(ab)^n=a^n \cdot b^n$

Čo je prvá mocnina?

$a^{m+1}:a^m=a^{m+1-m}=a^1=a$

Použili sme vzorec pre delenie mocnín s rovnakým základom $a^m:a^n=a^{m-n}$ a skutočnosť, že v čitateľovi sa $a$ nachádza o jeden raz častejšie než v menovateľovi, takže po vykrátení nám zostane len $a$ .

Čo je nultá mocnina?

$a^n:a^n=a^{n-n}=a^0=1, a\neq0$

Znova sme použili vzorec $a^m:a^n=a^{m-n}$ a skutočnnosť, že podiel dvoch rovnakých čísel je 1.

Čo sú záporne celé mocniny?

$a^0:a^n=a^{0-n}=a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}, a\neq 0$

Príklady:

$2^{-1}=\dfrac{1}{2}=0,5$

$2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}=0,25$

$\left( \dfrac{2}{3} \right) ^{-2}=\dfrac{1}{(\frac{2}{3})^2}=\dfrac{3^2}{2^2}=\dfrac{9}{4}=2,25$

Premeny jednotiek

17.10.2019Fyzika, MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Keď je nameraná veličina výrazne väčšia alebo menšia než jednotka veličiny, zvykneme je uviesť vo väčších alebo menších jednotkách, musíme preto poznať spôsob prevodu na väčšie alebo menšie jednotky.

Continue reading →

Číselné množiny

16.10.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Prirodzené čísla: Čísla, ktoré označujú počet alebo poradie nazývame prirodzené čísla. Množinu prirodzených čísel označujeme písmenom N.

Podľa tejto definície je aj nula prirodzené číslo, niektoré matematické kurzy nulu za prirodzené číslo nepovažujú.

$\frac{a}{b}$ kde $a,b\in Z \, b\neq 0$ .

Čísla označujúce poradie sa tiež nazývajú ordinálne čísla (z angl. order).
Čísla označujúce počet prvkov množiny, respektíve veľkosť množiny sa tiež nazývajú kardinálne čísla.

Súčet dvoch prirodzených čísel je prirodzené číslo. Množina prirodzených čísel je vzhľadom na operáciu sčítania uzavretá.

Množina prirodzených čísel nie je vzhľadom na operáciu odčítania uzavretá. Napríklad 2-3 nie je prirodzené číslo. Ak chceme zadefinovať množinu, ktorá je vzhľadom na operáciu odčítania uzavretá, dospejeme k pojmu množina celých čísel.

Celé čísla: Celé čísla sú zjednotením množiny prirodzených čísel a čísel k nim opačných. Opačné číslo k číslu a je -a. K -a dospejeme aj takto 0-a=-a. Súčet opačných čísel je nula. Množinu celých čísel označujeme písmenom Z.

Množina celých čísel je uzavretá vzhľadom na operácie: sčítanie, odčítanie a násobenie. Ak chceme, aby sme dostali množinu, ktorá je uzavretá aj na operáciu delenie, dospejeme k množine racionálnych čísel.

Racionálne čísla: Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno vyjadriť v tvare zlomku:

$\frac{a}{b}$ kde $a,b\in Z \, b\neq 0$ .

Racionálne čísla označujeme písmenom Q.

Množina racionálnych čísel je uzavretá vzhľadom na operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie s výnimkou delenia nulou. Ak si zavedieme operácie umocňovanie a k nej opačnú (inverznú operáciu) odmocňovanie, tak zistíme, že množina racionálnych čísel znova nie je uzavretá vzhľadom na operáciu odmocňovanie. Keď však zostrojíme štvorec so stranou 1, tak vidíme, že existuje úsečka, ktorá má dĺžku $\sqrt{2}$ . je to uhlopriečka tohto štvorca. Možno pritom dokázať, že $\sqrt{2}$ nemožno vyjadriť v tvare zlomku. Takto dospejeme k pojmu množina reálnych čísel.

Reálne čísla: Reálne čísla sú čísla, ktoré možno zobraziť na číselnej osi. Reálne čísla sú dĺžky všetkých úsečiek. Reálne čísla označujeme písmenom R.

Iracionálne čísla: Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne nazývame iracionálne čísla. Nedajú sa vyjadriť v tvare zlomku dvoch celých čísel.

Pre horeuvedené číselné množiny platí:

$N\subset Z \subset Q \subset R$

Slovom N je podmnožinou Z, Z je podmnožinou Q a Q je podmnožinou R.

Množiny a operácie s množinami

16.10.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

Množina je súbor objektov o ktorých vieme rozhodnúť, či do množiny patria.
Množiny obvykle označujeme veľkými písmenami.

Prvok množiny: Objekt, ktorý do množiny patrí, nazývame prvok množiny.

Prvky množiny obvykle označujeme malými písmenami.

Výraz $p\in A$ čítame ako p je prvkom A.

Výraz $p\notin A$ čítame ako p nie je prvkom A.

Podmnožina: Ak pre každý prvok množiny A platí, že je prvkom množiny B množina A je podmnožinou B

Výraz $A\subseteq B$ čítame ako A je podmnožinou B.

Vlastná podmnožina: Ak existuje aspoň jeden prvok množiny B, ktorý nie je prvkom A a A je podmnožinou B, potom A je vlastnou podmnožinou B.

Značíme výrazom: $A\subset B$

Grafické vyjadrenie podmnožiny

Príklady množín a ich podmnožín:

množina cicavcov je podmnožinou množiny zvierat
množina zvierat je podmnožinou množiny živočíchov
množnina párnych čísel je podmnožinou celých čísel
množina dravcov nie je podmnožinou množiny cicavcov – existujú aj dravé vtáky a dravé ryby
množina žiakov triedy je podmnožinou žiakov školy

Nadmnožina: Ak množina A obsahuje všetky prvky množiny B, množinu A nazývame nadmnožina množiny B.

Prázdna množina: Množina, ktorá nemá prvky sa nazýva prázdna množina.

Značíme buď { } alebo $\emptyset$

Množinu môžeme určiť troma spôsobmi:

vymenovaním prvkov
uvedením vlastností, ktoré majú prvky spĺňať
množinovými operáciami

a kombináciou hore uvedených spôsobov.

Operácie s množinami

Zjednotenie množín: Zjednotením množiny A a množiny B je množina všetkých prvkov, ktoré sú prvkami množiny A alebo množiny B.

Značíme: $A\cup B$

Zjednotenie množín môžeme zapísať v tvare $A\cup B= \{\forall p, \, p\in A \, \lor\, p \in B\}$

Poznámka: $\lor$ je logická spojka alebo.

Graficky možno zjednotenie vyjadriť pomocou Vennovho diagramu:

Prienik množín: Prienikom množiny A a množiny B je množina všetkých prvkov, ktoré sú prvkami množiny A a množiny B.

Značíme: $A\cap B$

Prienik množín môžeme zapísať v tvare: $A\cap B= \{\forall p, \, p\in A \, \land\, p \in B\}$

Poznámnka: $\land$ je logická spojka a.

Grafické vyjadrenie prieniku množín Vennovym diagramom

Rozdiel množín: Rozdiel množín A a B je množina všetkých prvkov, ktoré patria do A a nepatria do B.

$x \in A - B \Leftrightarrow (x \in A \land x \notin B)$

Vennov diagram rozdielu množín

Zdroje

Obrázky sú prevzaté z wikipédie.

https://sk.wikipedia.org/wiki/Rozdiel_mno%C5%BE%C3%ADn

https://sk.wikipedia.org/wiki/Prienik_(matematika)

https://sk.wikipedia.org/wiki/Zjednotenie_(matematika)

Počítanie so zlomkami

15.10.2019MatematikaTibor Menyhért Leave a comment

V živote sa často stretávame so situáciou, keď je celok rozdelený na niekoľko rovnakých častí. Napríklad pizza, čokoláda, bomboniera s rovnakými cukríkmi, …

Matematika by mala poskytovať aparát, ktorý umožňuje počítať s takýmito časťami celku. Časť celku, či viacero rovnakých častí celku nazývame zlomok.

Zlomok je číslo v tvare $\hspace{10}\dfrac{a}{b}\hspace{10} a,b \in Z \hspace{15} b\neq 0$

$Z$ je množina celých čísel, $\in$ je znak patrí do množiny. Vyššie uvedený výraz možno prečítať $a, b$ sú celé čísla a $b$ sa nerovná nula.

Číslo nad zlomkovou čiarou nazývame čitateľ, číslo pod zlomkovou čiarou nazývame menovateľ, čiara medzi čitateľom a menovateľom je zlomková čiara.

Krátenie zlomku

Ak čitateľa i menovateľa predelíme tým istým číslom rôznym od nuly, hodnota zlomku sa nezmení. Nazývame to krátenie zlomku. Napríklad: $\dfrac{2}{4}=\dfrac{2\cdot{}1}{2\cdot{}2}=\dfrac{1}{2}$

Rozšírenie zlomku

Ak čítateľa i menovateľa vynásobíme tým istým číslom rôznym od nuly, hodnota zlomku sa nezmení. Nazývame to rozšírenie zlomku. Npríklad: $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot{}3}{4\cdot{3}}=\dfrac{9}   Sčítanie zlomkov   a) s rovnakými menovateľmi   Zlomky s rovnakým menovateľom sčítame tak, že menovateľa opíšeme a čitateľov sčítame  $ \dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} $  b) s rôznymi menovateľmi   Zlomky prevedieme na rovnakého menovateľa a potom postupujeme ako v prípade a)  $ \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}= \dfrac{a\cdot d}{b \cdot d} +\dfrac{c\cdot b}{d\cdot b}=\dfrac{a \cdot d+c \cdot b}{b \cdot d} $  Prvý zlomok sme rozšírili číslom d a druhý číslom b. Najjednoduchšie je previesť menovateľov na ich najmenší spoločný násobok, ale aj hore uvedený spôsob vedie k správnemu výsledku.   Mnemotechnickou pomôckou je krížové pravidlo, podľa nasledujúceho obrázku:   <figure class="wp-block-image size-full is-resized"><img src="https://evyuka.sk/wp-content/uploads/2023/04/kpravidlo.jpg" alt="" class="wp-image-3198" width="846" height="635"/><figcaption class="wp-element-caption">Prvého čitateľa vynásobime druhým menovateľom, druhého čitateľa prvým menovateľov, tieto výsledky sčítame a do menovateľa dáme súčin menovateľov.</figcaption></figure>   Odčítanie zlomkov   a) s rovnakými menovateľmi   Zlomky s rovnakým menovateľom odčítame tak, že menovateľa opíšeme a od prvého čitateľa odpočítame druhého čitateľa  $ \dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c} $  b) s rôznymi menovateľmi   Zlomky prevedieme na rovnakého menovateľa a potom postupujeme ako v prípade a)  $ \dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}= \dfrac{a\cdot d}{b \cdot d} -\dfrac{c\cdot b}{d\cdot b}=\dfrac{a \cdot d-c \cdot b}{b \cdot d} $  Násobenie zlomkov   Zlomky násobime tak, že čitateľa vynásobime čitateľom a menovateľa menovateľom.  $ \dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b \cdot d} $  Delenie zlomkov   Zlomky delíme tak, že druhý zlomok prevrátime (čitateľ sa stane menovateľom a naopak) a tieto zlomky vynásobime.  $ \dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}= \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} $  Ak budeme mať zložený zlomok, tak ide vlastne tiež o delenie zlomku zlomkom a postupujeme rovnako alebo rovno výnasobíme vonkajšie hodnoty a zapíšeme do čitateľa a vnútorné hodnoty a zapíšeme do menovateľa.  $ \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}= \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} $  Príklady  $ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 3}+ \dfrac{1\cdot 2}{3\cdot 2} =\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6} $ $ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 3}- \dfrac{1\cdot 2}{3\cdot 2} =\dfrac{3-2}{6}=\dfrac{1}{6} $ $ \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3}=\dfrac{1}{6} $ $ \dfrac{1}{2}: \dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{1}=\dfrac{3}{2}=1,5 $  Poznámka: Výsledok sme mohli nechať aj v tvare$ \dfrac{3}{2} $  $ \dfrac{2}{3}\cdot \left( \dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{7}\right)= \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2 \cdot 7+3\cdot 5 }{5\cdot 7 }= \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{29}{35}=\dfrac{58}{105} $  Čo je väčšie?$ \dfrac{1}{3} alebo \dfrac{2}{7} $  Riešenie 1: Prevedieme na spoločného menovateľa a zlomok, ktorý bude mať väčšieho čitateľa bude väčší.   Spoločný menovateľ je 21.$ \dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{21}\hspace{15} \dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{21} $teda$ \dfrac{1}{3}>\dfrac{2}{7} $  Riešenie 2: Zlomky rozšírime tak, že čitatelia budú rovnakí. Zlomok, ktorý bude mať menšieho menovateľa bude väčší.  $ \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6} $teda$ \dfrac{1}{3}>\dfrac{2}{7}$

Poznámka: Výhodou prvého riešenia je, že vieme o koľko je 1/3 väčšia než 2/7, výhodou druhého je, že sme to vypočítali rýchlejšie.